题目 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知以 $M$ 为圆心的圆 $M:x^2+y^2-12x-14y+60=0$ 及其上一点 $A(2,4)$．<br><img src="/static/images/c96859bd80977b75e60c7a97546fe8b8.png" class="img-responsive" /> 问题1 设圆 $N$ 与 $x$ 轴相切，与圆 $M$ 外切，且圆心 $N$ 在直线 $x=6$ 上，求圆 $N$ 的标准方程； 答案1 $(x-6)^2+(y-1)^2=1$ 解析1 将圆 $M$ 的方程整理为标准方程：$(x-6)^2+(y-7)^2=25$．由于圆 $M$ 与圆 $N$ 的圆心连线与 $x$ 轴垂直，于是圆 $N$ 与 $x$ 轴和圆 $M$ 的切点分别是 $(6,0)$ 和 $(6,2)$，进而其标准方程为 $(x-6)^2+(y-1)^2=1$． 备注1 问题2 设平行于 $OA$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $B,C$ 两点，且 $BC=OA$，求直线 $l$ 的方程； 答案2 $2x-y+5=0$ 或 $2x-y-15=0$ 解析2 由题意，$BC=OA=2\sqrt{5}$，于是圆心 $M$ 到直线 $l$ 的距离为$$\sqrt{25-\left(\dfrac 12{BC}\right)^2}=2\sqrt 5,$$又直线 $l$ 的斜率为 $2$，设其方程为 $2x-y+m=0$，则有$$\dfrac{|2\cdot 6-7+m|}{\sqrt{2^2+1^2}}=2\sqrt 5,$$解得 $m=5$ 或 $m=-15$，因此直线 $l$ 的方程是 $2x-y+5=0$ 或 $2x-y-15=0$． 备注2 问题3 设 $T(t,0)$ 满足：存在圆 $M$ 上的两点 $P$ 和 $Q$，使得 $\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}$，求实数 $t$ 的取值范围． 答案3 $\left[2-2\sqrt{21},2+2\sqrt{21}\right]$ 解析3 由题意，$\overrightarrow{AT}=\overrightarrow{TP}-\overrightarrow{TQ}=\overrightarrow{QP}$．而 $Q,P$ 可以在圆 $M$ 上任取，因此 $\overrightarrow{QP}$ 可以表示任何长度不超过圆 $M$ 的直径的向量．<img src="/static/images/4784ebe607f6442487500c7f2113f3d6.png" class="img-responsive" />于是问题等价于点 $T(t,0)$ 在圆 $A:(x-2)^2+(y-4)^2=100$ 的圆内部（包含边界），即$$(t-2)^2+(0-4)^2\leqslant 100,$$解得 $2-2\sqrt{21}\leqslant t\leqslant 2+2\sqrt{21}$，因此实数 $t$ 的取值范围是 $\left[2-2\sqrt{21},2+2\sqrt{21}\right]$． 备注3