已知 $a\geqslant 3$，函数 $F(x)=\min\{2|x-1|,x^2-2ax+4a-2\}$，其中 $\min\{p,q\}=\begin{cases}p,p\leqslant q,\\ q,p>q. \end{cases}$
【难度】
【出处】
2016年高考浙江卷（理）
【标注】
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求使得等式 $F(x)=x^2-2ax+4a-2$ 成立的 $x$ 的取值范围；标注答案$[2,2a]$解析根据题意，有$$x^2-2ax+4a-2\leqslant 2|x-1|.$$
情形一 $x\geqslant 1$．
此时不等式等价于$$x^2-(2a+2)x+4a\leqslant 0,$$即$$(x-2)(x-2a)\leqslant 0,$$解得 $2\leqslant x\leqslant 2a$．情形二 $x<1$．
此时不等式等价于$$x^2+(2-2a)x+4a-4\leqslant 0,$$考虑到左侧函数的对称轴为 $x=a-1$，又该函数在 $x=1$ 处的函数值为 $2a-1>0$，此时无解．
综上所述，$x$ 的取值范围是 $[2,2a]$． -
（i）求 $F(x)$ 的最小值 $m(a)$；
（ii）求 $F(x)$ 在 $[0,6]$ 上的最大值 $M(a)$．标注答案（i）$$m(a)=\begin{cases} 0,& a\in\left[3,2+\sqrt 2\right],\\ -a^2+4a-2,&a\in (2+\sqrt 2,+\infty).\end{cases}$$（ii）$$M(a)=\begin{cases} 34-8a,&a\in [3,4],\\ 2,& a\in (4,+\infty)\end{cases}$$解析（i）根据第 $(1)$ 小题的结论，我们有$$F(x)=\begin{cases} x^2-2ax+4a-2,&x\in [2,2a],\\ 2|x-1|,& x\in (-\infty, 2)\cup(2a,+\infty),\end{cases}$$该函数在第一段上的最小值$$m_1(a)=-a^2+4a-2,(a\geqslant 3),$$在第二段上的最小值$$m_2=0.$$由于函数 $m_1(a)$ 在 $a\in [3,+\infty)$ 上的零点为 $a=2+\sqrt 2$，于是$$m(a)=\begin{cases} 0,& a\in\left[3,2+\sqrt 2\right],\\ -a^2+4a-2,&a\in (2+\sqrt 2,+\infty).\end{cases}$$（ii）由于 $y=x^2-2ax+4a-2$ 的对称轴为 $x=a$，所以在 $x\in[2,6]$ 上，函数 $y=x^2-2ax+4a-2$ 或者单调递减，或者先递减再递增．因此最大值必然在区间端点处取得，从而 $F(x)$ 在 $[2,6]$ 上的最大值$$M_1(a)=\max\{2,34-8a\}=\begin{cases} 34-8a,&a\in [3,4],\\ 2,&a\in (4,+\infty),\end{cases}$$而函数 $F(x)$ 在 $[0,2)$ 上的最大值是 $2$，于是$$M(a)=\begin{cases} 34-8a,&a\in [3,4],\\ 2,& a\in (4,+\infty).\end{cases}$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
