已知边长为 $1$ 的正三角形 $ABC$ 的中心为 $O$，在 $\triangle ABC$ 的内切圆上取一点 $P$，将 $\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC},\overrightarrow{PO}$ 四个向量分为两组 $\{\overrightarrow a,\overrightarrow b\}$ 和 $\{\overrightarrow c,\overrightarrow d\}$，把 $\left(\overrightarrow a+\overrightarrow b\right)\cdot \left(\overrightarrow c+\overrightarrow d\right)$ 的取值集合记为 $K$，则对于一切 $P$，有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（二测）
【标注】
【答案】
ABC
【解析】
设 $\triangle ABC$ 的内切圆半径为 $r$，外接圆半径为 $R$，则\[\begin{split}\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}\right)\cdot \left(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PO}\right)&=\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OP}\right)\cdot \left(\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OP}\right)\\
&=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OP}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)+4OP^2\\
&=-\dfrac 12R^2-\dfrac 12R^2+4r^2\\
&=4r^2-R^2\\
&=0.\end{split}\]
&=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OP}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)+4OP^2\\
&=-\dfrac 12R^2-\dfrac 12R^2+4r^2\\
&=4r^2-R^2\\
&=0.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
