求证：
【难度】
【出处】
2008年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
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$\dfrac{k-1}{k}<\dfrac{k}{k+1},k>0$；标注答案略解析原式即证 $k^2-1<k^2$，显然成立．证毕．
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$\sqrt{n}<\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{5}{4}\cdots \dfrac{2n-1}{2n-2}<\sqrt{2n-1}$．标注答案略解析由 $(1)$ 知，$$\dfrac{k+1}{k}<\dfrac{k}{k-1},k \geqslant 2,$$计算$$\left(\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{5}{4}\cdots \dfrac{2n-1}{2n-2}\right)^2<\left(\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{5}{4}\cdots \dfrac{2n-1}{2n-2}\right)\cdot \left(\dfrac{2}{1}\cdot \dfrac{4}{3}\cdots \dfrac{2n-2}{2n-3}\right)=2n-1,$$因此右侧不等式成立．
同理可证左侧不等式亦成立．证毕．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
