题目 设函数 $f(x)=x^3+\dfrac{1}{1+x}$，$x\in [0,1]$．证明： 问题1 $f(x)\geqslant 1-x+x^2$； 答案1 略 解析1 只需要证明$$1-x+x^2-x^3\leqslant \dfrac{1}{1+x}.$$因为$$1-x+x^2-x^3=\dfrac{1-x^4}{1+x}\leqslant \dfrac{1}{1+x},$$因此原命题得证． 备注1 问题2 $\dfrac 34<f(x)\leqslant \dfrac 32$． 答案2 略 解析2 注意到右侧不等式当 $x=1$ 时取得等号，因此证明如下：$$x^3+\dfrac 1{1+x}\leqslant x+\dfrac{1}{1+x},$$而右侧函数在 $x\in [0,1]$ 上单调递增，于是右侧不等式得证．<br/>再证明左侧不等式，由第 $(1)$ 小题的结果可得$$x^3+\dfrac{1}{1+x}\geqslant x^2-x+1=\left(x-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 34\geqslant \dfrac 34,$$两个不等号取等的条件分别为 $x=0$ 和 $x=\dfrac 12$，无法同时取得．左侧的不等式得证．<br/>综上所述，原不等式得证． 备注2