设计一种为一维数轴的全体实数染色的方案，使得数轴上任意两个相距为 $1$，$\sqrt 2$，$\sqrt 5$ 的点都不同色，要求使用颜色最小．
【难度】
【出处】
2010年清华大学自主招生特色测试数学试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
显然不可能只用一种颜色，下面给出用两种颜色染色的方案．
简单情形 考虑最简单的问题，设计一种为一维数轴的全体实数染色的方案，使得数轴上任意两个相距为 $1$ 的点都不同色．只需要把 $\cdots,[-1,0),[0,1),[1,2),\cdots$ 交替染成两种不同颜色就可以了．
思考上述方法的本质，把每一小段的中点位置改成另一种颜色，仍然符合要求．也就是说集合 $\left\{\cdots,-\dfrac 12,\dfrac 12,\dfrac 32,\cdots\right\}$ 可以抽离出来单独染色，而不会对其他实数的染色产生影响．
提炼方案 我们把这个方案提炼一下：
第一步 先对数集 $G=\left\{x\left|x=k+\dfrac 12,k\in\mathbb{Z}\right.\right\}$ 染色，只需要 $k$ 为偶数时染黑色，$k$ 为奇数时染白色就可以了．
第二步 然后对其他实数染色．如果对于某个实数未被染色，即 $p\notin G$，那么写出集合 $G_0=\left\{x|x=k+p,k\in\mathbb{Z}\right\}$，按第一步中的方法染色．同时已染色集合扩充到了 $G\cup G_0$．
重复第二步，就可以完成对任意实数的染色．
之所以能够成功地用两种颜色染色，实质上就是：
① 把实数集写成了无数个形如 $G(p)$ 的集合的并集，且这些集合是互不相交的；
② 这些集合中任意两个不同的集合 $G(p_1)$ 和 $G(p_2)$ 中的元素 $x_1,x_2$（设 $x_1\in G(p_1)$，$x_2\in G(p_2)$）的距离 $|x_1-x_2|\ne 1$；
③ 每个集合 $G(p)$ 都可以用两种颜色染色．
解决问题 用同样的方案处理问题．
第一步 先对数集 $G=\left\{x\left|x=a+b\sqrt 2+c\sqrt 5,a,b,c\in\mathbb{Z}\right.\right\}$ 染色，只需要 $a+b+c$ 为偶数时染黑色，是奇数时染白色即可．
第二步 然后对其他实数染色．如果对于某个实数未被染色，即 $p\in G$，那么写出集合$$G_0=\left\{x\left|x=a+b\sqrt 2+c\sqrt 5+p,a,b,c\in\mathbb{Z}\right.\right\},$$按第一步中的方法染色，同时已染色集合扩充到了 $G\cup G_0$．
重复第二步，就可以完成对任意实数染色．
由于这些染色方案仍然满足 ①，③，且满足“这些集合中任意两个不同的集合 $G(p_1)$ 和 $G(p_2)$ 中的元素 $x_1,x_2$（设 $x_1\in G(p_1),x_2\in G(p_2)$）的距离 $|x_1-x_2|\ne 1$，$|x_1-x_2|\ne \sqrt 2$，$|x_1-x_2|\ne \sqrt 5$”，所以是符合题意的．
综合以上，就得到了满足题意的用两种颜色将全体实数染色的方案．
思考上述方法的本质，把每一小段的中点位置改成另一种颜色，仍然符合要求．也就是说集合 $\left\{\cdots,-\dfrac 12,\dfrac 12,\dfrac 32,\cdots\right\}$ 可以抽离出来单独染色，而不会对其他实数的染色产生影响．
重复第二步，就可以完成对任意实数的染色．
之所以能够成功地用两种颜色染色，实质上就是：
① 把实数集写成了无数个形如 $G(p)$ 的集合的并集，且这些集合是互不相交的；
② 这些集合中任意两个不同的集合 $G(p_1)$ 和 $G(p_2)$ 中的元素 $x_1,x_2$（设 $x_1\in G(p_1)$，$x_2\in G(p_2)$）的距离 $|x_1-x_2|\ne 1$；
③ 每个集合 $G(p)$ 都可以用两种颜色染色．
重复第二步，就可以完成对任意实数染色．
由于这些染色方案仍然满足 ①，③，且满足“这些集合中任意两个不同的集合 $G(p_1)$ 和 $G(p_2)$ 中的元素 $x_1,x_2$（设 $x_1\in G(p_1),x_2\in G(p_2)$）的距离 $|x_1-x_2|\ne 1$，$|x_1-x_2|\ne \sqrt 2$，$|x_1-x_2|\ne \sqrt 5$”，所以是符合题意的．
综合以上，就得到了满足题意的用两种颜色将全体实数染色的方案．
答案
解析
备注
