题目 已知向量 $\overrightarrow p = \left( {\sin A , \cos A} \right)$，$\overrightarrow q = \left( {\cos B ,\sin B} \right)$，且 $\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q = \sin 2C$，其中 $A,B,C$ 分别是 $\triangle ABC$ 的三边 $a,b,c$ 所对的角． 问题1 求 $C$ 的大小． 答案1 $\dfrac{{{\pi }}}{3}$ 解析1 因为 $\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q = \sin 2C$，即$$\sin A\cos B + \cos A\sin B = \sin 2C,$$所以$$\sin \left( {A + B} \right) = 2\sin C\cos C,$$故$$ 2\cos C = 1.$$于是 $\cos C = \dfrac{1}{2}$，因此 $C = \dfrac{{{\pi }}}{3}$． 备注1 问题2 证明：$\overrightarrow p \cdot \overrightarrow q = \sin 2C$ 的充分必要条件是 $\sec 2C + \tan 2C = - \sqrt 3 - 2$． 答案2 略 解析2 <case>必要性</case>因为 $C = \dfrac{{{\pi }}}{3}$，所以$$\sec 2C + \tan 2C = \dfrac{1}{{\cos \dfrac{{2{{\pi }}}}{3}}} + \tan \dfrac{{2{{\pi }}}}{3} = - \sqrt 3 - 2;$$<case>充分性</case>因为 $\sec 2C + \tan 2C = - \sqrt 3 - 2$，所以$$ \dfrac{{1 + \sin 2C}}{{\cos 2C}} = - \sqrt 3 - 2,$$即$$ \dfrac{{1 - \cos \left( {2C + \dfrac{{{\pi }}}{2}} \right)}}{{\sin \left( {2C + \dfrac{{{\pi }}}{2}} \right)}} = - \sqrt 3 - 2,$$这样就有$$ \tan \left( {C + \dfrac{{{\pi }}}{4}} \right) = - \sqrt 3 - 2 = \tan \dfrac{{7{{\pi }}}}{{12}},$$所以 $C = \dfrac{{{\pi }}}{3}$．由 $(1)$，充分性得证．<br/>综上，命题成立． 备注2 问题3 已知 $A = 75^\circ $，$c = \sqrt 3 $，求 $\triangle ABC$ 的面积． 答案3 $\dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{4}$ 解析3 因为 $A = \dfrac{{5{{\pi }}}}{{12}}$，$C = \dfrac{{{\pi }}}{3}$，所以 $B = \dfrac{{{\pi }}}{4}$，从而有$$b=\dfrac c{\sin C}\cdot\sin B=\sqrt 2,$$于是$$\begin{split}{S_{\triangle ABC}} &= \dfrac 12bc\sin A\\ &=\dfrac 12\cdot\sqrt 2\cdot\sqrt 3\sin\dfrac {5\pi}{12}\\ &= \frac{{3 + \sqrt 3 }}{4}.\end{split}$$ 备注3