甲、乙两人轮流投掷硬币，第一局甲先掷，谁先掷出正面谁就胜，上一局的负者下一局先掷．问：
【难度】
【出处】
2010年浙江大学自主招生保送生测试
【标注】
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第 $1$ 局甲获胜的概率；标注答案$ \dfrac{2}{3} $解析甲先掷时最终获胜的概率为$$\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^5} + \cdots = \dfrac{2}{3}.$$
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第 $n$ 局甲获胜的概率．标注答案${p_n} = \dfrac{1}{2}\left[ {1 - {{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^n}} \right]$解析由 $(1)$ 知甲后掷时最终获胜的概率为$$1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}.$$设第 $k$ 局甲胜的概率为 ${p_k}$，则乙胜的概率为 $1 - {p_k}$，于是第 $k + 1$ 局甲胜的概率为$${p_{k + 1}} = \dfrac{2}{3}{p_k} + \dfrac{1}{3}\left( {1 - {p_k}} \right) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}{p_k},$$又 ${p_1} = \dfrac{2}{3}$，所以可求得 ${p_n}$ 的通项$${p_n} = \dfrac{1}{2}\left[ {1 - {{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^n}} \right].$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
