已知函数 $f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} + ax + b$ 在 $x = 1$ 处取得极值 $\dfrac{1}{3}$．
【难度】
【出处】
2008年西北工业大学自主招生测试
【标注】
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求函数 $f\left( x \right)$ 的解析式；标注答案$f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - x + 1$解析对函数 $f(x)$ 求导得$$f'(x) = {x^2} + a,$$由$$\begin{cases}f'(1) = 0,\\f(1) = \dfrac{1}{3},\end{cases}$$解得$$\begin{cases}a = - 1,\\b = 1,\end{cases}$$故 $f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - x + 1$．
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若 $P\left( {{x_0}{\kern 1pt} , {\kern 1pt} {\kern 1pt} {y_0}} \right)$（${x_0} > 3$）为 $f\left( x \right)$ 图象上的点，直线 $l$ 与 $f\left( x \right)$ 的图象切于点 $P$，直线 $l$ 的斜率为 $k$，求函数 $g\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{k}{{\frac{1}{3}{x_0}^3 - f\left( {{x_0}} \right) - 2}}$ 的最小值．标注答案$4\sqrt 2+6$解析由 $(1)$ 知$$k = f'({x_0}) = {x_0}^2 - 1,$$于是$$\begin{split}g\left( {{x_0}} \right) &= \dfrac{k}{{\frac{1}{3}{x_0}^3 - f\left( {{x_0}} \right) - 2}}\\ &= \dfrac{{{x_0}^2 - 1}}{{{x_0} - 1 - 2}}\\ &= \dfrac{{{x_0}^2 - 1}}{{{x_0} - 3}}.\end{split}$$设 $t = {x_0} - 3$，则当 $t > 0$ 时，$$\begin{split}g({x_0}) &= \dfrac{{{{(t + 3)}^2} - 1}}{t}\\ &= t + 6 + \dfrac{8}{t}\\ &\geqslant 2\sqrt {t \cdot \dfrac{8}{t}} + 6\\ &= 4\sqrt 2 + 6,\end{split}$$当且仅当 $t = 2\sqrt 2 $，即 ${x_0} = 3 + 2\sqrt 2 $ 时取等号．
所以 $g(x)$ 的最小值为 $4\sqrt 2+6$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
