题目 试构造函数 $f\left( x \right)$，$g\left( x \right)$，其定义域为 $\left( {0,1} \right)$，值域为 $\left[ {0,1} \right]$，分别满足： 问题1 对于任意 $a \in \left[ {0,1} \right]$，$f\left( x \right) = a$ 只有一解； 答案1 $f\left( x \right) =\begin{cases}<br/>2x,x = \dfrac{1}{{{2^n}}},n = 1,2,3, \cdots \\<br/>3x,x = \dfrac{1}{{{3^n}}},n = 2,3, \cdots \\<br/>0,x = \dfrac{1}{3} \\<br/>x,etc. \\<br/>\end{cases}$ 解析1 构造 $f(x)$ 如下：$f\left( x \right) =\begin{cases}<br/>2x,x = \dfrac{1}{{{2^n}}},n = 1,2,3, \cdots \\<br/>3x,x = \dfrac{1}{{{3^n}}},n = 2,3, \cdots \\<br/>0,x = \dfrac{1}{3} \\<br/>x,etc. \\<br/>\end{cases}$ 备注1 问题2 对于任意 $a \in \left[ {0,1} \right]$，$g\left( x \right) = a$ 有无穷多个解． 答案2 $g\left( x \right) =\begin{cases}<br/>0,x = \dfrac{1}{{{2^i}}},i = 1,2,3, \cdots \\<br/>f\left( {{g_i}\left( x \right)} \right),etc, \\<br/>\end{cases}$<br/>其中\[\begin{split} f\left( x \right) &=\begin{cases}<br/>2x,x = \dfrac{1}{{{2^n}}},n = 1,2,3, \cdots \\<br/>3x,x = \dfrac{1}{{{3^n}}},n = 2,3, \cdots \\<br/>0,x = \dfrac{1}{3} \\<br/>x,etc. \\<br/>\end{cases}\\{g_i}\left( x \right) &= {2^{i + 1}}\left( {x - \dfrac{1}{{{2^{i + 1}}}}} \right),i = 1,2,3, \cdots \end{split}\] 解析2 定义$$g\left( {\dfrac{1}{{{2^i}}}} \right) = 0,i = 1,2,3, \cdots .$$有 $\left( {0,1} \right) = \bigcup\limits_{i = 0}^{ + \infty } {\left[ {\dfrac{1}{{{2^{i + 1}}}}, \dfrac{1}{{ {2^i}}}} \right)} $，$\forall x \in \left( {\dfrac{1}{{{2^{i + 1}}}},\dfrac{1}{{{2^i}}}} \right)$，先作映射$${g_i}\left( x \right) = {2^{i + 1}}\left( {x - \dfrac{1}{{{2^{i + 1}}}}} \right),$$这样就把 $\left( {\dfrac{1}{{{2^{i + 1}}}},\dfrac{1}{{{2^i}}}} \right)$ 扩充到 $\left( {0,1} \right)$．于是$$g\left(x \right)=\begin{cases}<br/>0,x = \dfrac{1}{{{2^i}}},i = 1,2,3, \cdots \\<br/>f\left( {{g_i}\left( x \right)} \right),etc. \\<br/>\end{cases}$$其中 $ {g_i}\left(x \right)= {2^{i + 1}}\left({x - \dfrac{1}{{{2^{i + 1}}}}} \right),i = 1,2,3,\cdots $． 备注2 在 $(2)$ 中，取 $g\left( x \right) = \left| {\sin \dfrac{1}{x}} \right|$ 或直接构造 $f\left( x \right) = \left| {\sin \dfrac{1}{x}} \right|$ 亦可．