设 $\dfrac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$ 的整数部分为 $a$，小数部分为 $b$．
【难度】
【出处】
2009年清华大学保送生试题（理科）
【标注】
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求 $a,b$；标注答案$a=2$，$b=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$解析因为 $\dfrac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$，又$$\dfrac{3+1}{2}<\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}<\dfrac{3+3}{2},$$所以 $a=2$，从而 $b=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$．
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求 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+\dfrac{ab}{2}$；标注答案$5$解析由 $(1)$ 将 $a,b$ 代入得 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+\dfrac{ab}{2}=5$；
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求 $\lim\limits_{n\to\infty}{\left( b+{{b}^{2}}+\cdots+{{b}^{n}} \right)}$．标注答案$\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$解析根据等比数列求和公式和极限运算得$$\lim\limits_{n\to\infty}{\left( b+{{b}^{2}}+\cdots+{{b}^{n}} \right)}=\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
