如图，抛物线与 $x$ 轴交于点 $A\left(-5,0\right)$，和点 $B\left(3,0\right)$，与 $y$ 轴交于点 $C\left(0,5\right)$．有一宽度为 $1$，长度足够的矩形（阴影部分）沿 $x$ 轴方向平移，与 $y$ 轴平行的一组对边交抛物线于点 $P$ 和 $Q$，交直线 $AC$ 于点 $M$ 和 $N$，交 $x$ 轴于点 $E$ 和 $F$．在矩形的平移过程中，当以点 $P$，$ Q $，$ M $，$N$ 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 $M$ 的坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
根据题意，$ A\left(-5,0\right) $，$ B\left(3,0\right) $ 在 $ x $ 轴上，
设抛物线为 $ y=a\left(x+5\right)\left(x-3\right) $．
$\because$ 抛物线过点 $ \left(0,5\right) $，
$\therefore$ $ a=-\dfrac13 $．
$\therefore$ 抛物线解析式为 $ y=-\dfrac13\left(x+5\right)\left(x-3\right)=-\dfrac13x^2-\dfrac23x+5 $．
设直线 $ AC $ 的解析式 $ y=kx+n $，
由题意，得 $\begin{cases}-5k+n=0,\\n=5.\end{cases}解得\begin{cases}k=1,\\n=5.\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $ AC $ 的解析式 $ y=x+5 $．
由已知，点 $ Q $，$ N $，$ F $ 及点 $ P $，$ M $，$ E $ 横坐标分别相同．
设 $ F\left(t,0\right) $，$ E\left(t+1,0\right) $，点 $ M $，$ N $ 在直线 $ y=x+5 $ 上，
$\therefore$ $ N\left(t,t+5\right) $，$ M\left(t+1,t+6\right) $，
$\because$ 点 $ P $，$ Q $ 在抛物线 $ y=-\dfrac13x^2-\dfrac23x+5 $ 上，
$\therefore$ $ Q\left(t,-\dfrac13t^2-\dfrac23t+5\right) $，$ P\left(t+1,-\dfrac13t^2-\dfrac43t+4\right) $．
在矩形平移过程中，以 $ P $，$ Q $，$ N $，$ M $ 为顶点的平行四边形有两种情况：
① 点 $ Q $，$ P $ 在直线 $ AC $ 同侧时，$ QN=PM $．
$\therefore$ $ \left(-\dfrac13t^2-\dfrac23t+5\right)-\left(t+5\right)=\left(-\dfrac13t^2-\dfrac43t+4\right)-\left(t+6\right) $，
解得，$ t=-3 $．
$\therefore$ $ M\left(-2,3\right) $．
② 点 $ Q $，$ P $ 在直线 $ AC $ 异侧时，$ QN=MP $．
$\therefore$ $ \left(-\dfrac13t^2-\dfrac23t+5\right)-\left(t+5\right)=\left(t+6\right)-\left(-\dfrac13t^2-\dfrac43t+4\right) $，
解得，$ t_1=-3+\sqrt6 $，$ t_2=-3-\sqrt6 $，
$\therefore$ $ M\left(-2+\sqrt6,3+\sqrt6\right) $ 或 $ \left(-2-\sqrt6,3-\sqrt6\right) $．
$\therefore$ 符合条件的点 $ M $ 是 $ \left(-2,3\right) $，$ \left(-2+\sqrt6,3+\sqrt6\right) $ 或 $ \left(-2-\sqrt6,3-\sqrt6\right) $
设抛物线为 $ y=a\left(x+5\right)\left(x-3\right) $．
$\because$ 抛物线过点 $ \left(0,5\right) $，
$\therefore$ $ a=-\dfrac13 $．
$\therefore$ 抛物线解析式为 $ y=-\dfrac13\left(x+5\right)\left(x-3\right)=-\dfrac13x^2-\dfrac23x+5 $．
设直线 $ AC $ 的解析式 $ y=kx+n $，
由题意，得 $\begin{cases}-5k+n=0,\\n=5.\end{cases}解得\begin{cases}k=1,\\n=5.\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $ AC $ 的解析式 $ y=x+5 $．
由已知，点 $ Q $，$ N $，$ F $ 及点 $ P $，$ M $，$ E $ 横坐标分别相同．
设 $ F\left(t,0\right) $，$ E\left(t+1,0\right) $，点 $ M $，$ N $ 在直线 $ y=x+5 $ 上，
$\therefore$ $ N\left(t,t+5\right) $，$ M\left(t+1,t+6\right) $，
$\because$ 点 $ P $，$ Q $ 在抛物线 $ y=-\dfrac13x^2-\dfrac23x+5 $ 上，
$\therefore$ $ Q\left(t,-\dfrac13t^2-\dfrac23t+5\right) $，$ P\left(t+1,-\dfrac13t^2-\dfrac43t+4\right) $．
在矩形平移过程中，以 $ P $，$ Q $，$ N $，$ M $ 为顶点的平行四边形有两种情况：
① 点 $ Q $，$ P $ 在直线 $ AC $ 同侧时，$ QN=PM $．
$\therefore$ $ \left(-\dfrac13t^2-\dfrac23t+5\right)-\left(t+5\right)=\left(-\dfrac13t^2-\dfrac43t+4\right)-\left(t+6\right) $，
解得，$ t=-3 $．
$\therefore$ $ M\left(-2,3\right) $．
② 点 $ Q $，$ P $ 在直线 $ AC $ 异侧时，$ QN=MP $．
$\therefore$ $ \left(-\dfrac13t^2-\dfrac23t+5\right)-\left(t+5\right)=\left(t+6\right)-\left(-\dfrac13t^2-\dfrac43t+4\right) $，
解得，$ t_1=-3+\sqrt6 $，$ t_2=-3-\sqrt6 $，
$\therefore$ $ M\left(-2+\sqrt6,3+\sqrt6\right) $ 或 $ \left(-2-\sqrt6,3-\sqrt6\right) $．
$\therefore$ 符合条件的点 $ M $ 是 $ \left(-2,3\right) $，$ \left(-2+\sqrt6,3+\sqrt6\right) $ 或 $ \left(-2-\sqrt6,3-\sqrt6\right) $
【解析】
略
答案
解析
备注
