已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为周期函数，且 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，则 $f(x)+g(x)$ 为周期函数的充要条件是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 有可公度之周期．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
充分性显然．
下面来证明必要性．
因为连续函数必有界，故 $f(x)$ 有界．此外，对于任意实数 $a$，函数\[
h_a(x)=f(x+a)-f(x)
\]均连续，故由引理（周期函数之和的周期性1）可知，$h_a(x)$ 或为常值函数或有最小正周期，因此由引理（周期函数之和的周期性2）可知，定理成立．
下面来证明必要性．
因为连续函数必有界，故 $f(x)$ 有界．此外，对于任意实数 $a$，函数\[
h_a(x)=f(x+a)-f(x)
\]均连续，故由引理（周期函数之和的周期性1）可知，$h_a(x)$ 或为常值函数或有最小正周期，因此由引理（周期函数之和的周期性2）可知，定理成立．
答案
解析
备注
