设方程 $x^6+x^4+x^3+x^2+1=0$ 的所有虚部为正数的复根的乘积为 $z$，求 $z$ 的值（写成三角形式）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$z=x_1x_3x_4=\cos{\dfrac{23\pi}{15}}+\mathrm{i}\sin{\dfrac{23\pi}{15}}$
【解析】
易知原方程有 $6$ 个虚数根，所以原方程同解于\[
x^3+\dfrac{1}{x^3}+x+\dfrac{1}{x}+1=0.
\]令 $t=x+\dfrac{1}{x}$，则有 $t^3-2t+1=(t-1)\left(t^2+t-1\right)=0$，即\[
\left(x^2-x+1\right)\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)=0,
\]解得 $t=x+\dfrac{1}{x}=1,\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2},\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$，进一步解得\[
% x=\dfrac{1\pm\mathrm{i}\sqrt{3}}{2},\dfrac{-1+\sqrt{5}\pm\mathrm{i}\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4},\dfrac{-1-\sqrt{5}\pm\mathrm{i}\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}.
%\]所以\[\begin{cases}
x_1=\cos{\dfrac{\pi}{3}}+\mathrm{i}\sin{\dfrac{\pi}{3}},\\
x_2=\cos{\dfrac{5\pi}{3}}+\mathrm{i}\sin{\dfrac{5\pi}{3}},\\
x_3=\cos{\dfrac{2\pi}{5}}+\mathrm{i}\sin{\dfrac{2\pi}{5}},\\
x_4=\cos{\dfrac{4\pi}{5}}+\mathrm{i}\sin{\dfrac{4\pi}{5}},\\
x_5=\cos{\dfrac{6\pi}{5}}+\mathrm{i}\sin{\dfrac{6\pi}{5}},\\
x_6=\cos{\dfrac{8\pi}{5}}+\mathrm{i}\sin{\dfrac{8\pi}{5}},
\end{cases}\]故 $z=x_1x_3x_4=\cos{\dfrac{23\pi}{15}}+\mathrm{i}\sin{\dfrac{23\pi}{15}}$．
x^3+\dfrac{1}{x^3}+x+\dfrac{1}{x}+1=0.
\]令 $t=x+\dfrac{1}{x}$，则有 $t^3-2t+1=(t-1)\left(t^2+t-1\right)=0$，即\[
\left(x^2-x+1\right)\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)=0,
\]解得 $t=x+\dfrac{1}{x}=1,\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2},\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$，进一步解得\[
% x=\dfrac{1\pm\mathrm{i}\sqrt{3}}{2},\dfrac{-1+\sqrt{5}\pm\mathrm{i}\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4},\dfrac{-1-\sqrt{5}\pm\mathrm{i}\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}.
%\]所以\[\begin{cases}
x_1=\cos{\dfrac{\pi}{3}}+\mathrm{i}\sin{\dfrac{\pi}{3}},\\
x_2=\cos{\dfrac{5\pi}{3}}+\mathrm{i}\sin{\dfrac{5\pi}{3}},\\
x_3=\cos{\dfrac{2\pi}{5}}+\mathrm{i}\sin{\dfrac{2\pi}{5}},\\
x_4=\cos{\dfrac{4\pi}{5}}+\mathrm{i}\sin{\dfrac{4\pi}{5}},\\
x_5=\cos{\dfrac{6\pi}{5}}+\mathrm{i}\sin{\dfrac{6\pi}{5}},\\
x_6=\cos{\dfrac{8\pi}{5}}+\mathrm{i}\sin{\dfrac{8\pi}{5}},
\end{cases}\]故 $z=x_1x_3x_4=\cos{\dfrac{23\pi}{15}}+\mathrm{i}\sin{\dfrac{23\pi}{15}}$．
答案
解析
备注
