如图，点 $C$ 为 $\triangle ABD$ 外接圆上的一动点（点 $C$ 不在 $\overparen{BAD}$ 上，且不与点 $B,D$ 重合），$\angle ACB=\angle ABD=45^\circ$．连接 $CD$，求证：$\sqrt{2}AC=BC+CD$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图所示作 $CA\perp AE$，延长 $CB$ 交 $AE$ 于点 $E$．
因为 $\angle ACB=45^\circ$，$CA\perp AE$，
所以 $\triangle ACE$ 为等腰直角三角形．
所以 $AC=AE$．
由勾股定理，得 $CE^2=AC^2+AE^2=2AC^2 $，
所以 $CE=\sqrt2{AC}$．
由 $(1)$ 可知 $\triangle ABD$ 为等腰直角三角形，
所以 $AB=AD$，$\angle BAD=90^\circ$．
因为 $\angle EAC=90^\circ$，
所以 $\angle EAB+\angle BAC=\angle DAC +\angle BAC$．
所以 $\angle EAB=\angle DAC$．
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ADC$ 中，
$\begin{cases}
{AB}={AD}, \\
\angle {EAB}=\angle {DAC} ,\\
{AE}={AC} ,\\
\end{cases}$
所以 $\triangle ABE \cong \triangle ADC$ $\mathrm {\left(SAS\right)}$．
所以 $BE=DC$．
所以 $CE=BE+BC=DC+BC=\sqrt{2}AC$．
因为 $\angle ACB=45^\circ$，$CA\perp AE$，所以 $\triangle ACE$ 为等腰直角三角形．
所以 $AC=AE$．
由勾股定理，得 $CE^2=AC^2+AE^2=2AC^2 $，
所以 $CE=\sqrt2{AC}$．
由 $(1)$ 可知 $\triangle ABD$ 为等腰直角三角形，
所以 $AB=AD$，$\angle BAD=90^\circ$．
因为 $\angle EAC=90^\circ$，
所以 $\angle EAB+\angle BAC=\angle DAC +\angle BAC$．
所以 $\angle EAB=\angle DAC$．
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle ADC$ 中，
$\begin{cases}
{AB}={AD}, \\
\angle {EAB}=\angle {DAC} ,\\
{AE}={AC} ,\\
\end{cases}$
所以 $\triangle ABE \cong \triangle ADC$ $\mathrm {\left(SAS\right)}$．
所以 $BE=DC$．
所以 $CE=BE+BC=DC+BC=\sqrt{2}AC$．
答案
解析
备注
