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$\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=90^{\circ}$，$AB=AC$，点 $D$ 为直线 $BC$ 上一动点（点 $D$ 不与 $B$，$C$ 重合），以 $AD$ 为边在 $AD$ 右侧作正方形 $ADEF$，连接 $CF$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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    共顶点模型
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    共顶点模型
  1. 观察猜想
    如图1，当点 $D$ 在线段 $BC$ 上时，
    （i）$BC$ 与 $CF$ 的位置关系为 ．
    （ii）$BC,CD,CF$ 之间的数量关系为 ；（将结论直接写在横线上）
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    答案
    （i）垂直；（ii）$ BC=CD+CF $
    解析
    （i）正方形 $ADEF$ 中，$AD=AF$，
    因为 $ \angle BAC=\angle DAF=90^{\circ}$，
    所以 $\angle BAD=\angle CAF$．
    在 $\triangle DAB$ 与 $\triangle FAC$ 中，
    $\begin{cases}AD=AF,\\\angle BAD=\angle CAF,\\AB=AC.\end{cases}$
    所以 $\triangle DAB\cong\triangle FAC$．
    所以 $\angle B=\angle ACF$．
    所以 $\angle ACB+\angle ACF=90^{\circ}$，即 $CF\perp BD$．
    （ii）因为 $ \triangle DAB\cong\triangle FAC$，
    所以 $CF=BD$．
    因为 $ BC=BD+CD$，
    所以 $BC=CF+CD$．
  2. 数学思考
    如图2，当点 $D$ 在线段 $CB$ 的延长线上时，结论 $(1)$，$(2)$ 是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
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    答案
    成立
    解析
    因为正方形 $ ADEF $ 中，$AD=AF$，$\angle BAC=\angle DAF=90^{\circ}$，
    所以 $\angle BAD=\angle CAF$．
    在 $\triangle DAB$ 与 $\triangle FAC$ 中，
    $\begin{cases}AD=AF,\\\angle BAD=\angle CAF,\\AB=AC,\end{cases}$
    所以 $\triangle DAB\cong\triangle FAC$．
    所以 $\angle B=\angle ACF$，$CF=BD$．
    所以 $\angle ACB+\angle ACF=90^{\circ}$，即 $CF\perp BD$．
    因为 $BC=BD+CD$，
    所以 $BC=CF+CD$．
  3. 拓展延伸
    如图 3，当点 $D$ 在线段 $BC$ 的延长线上时，延长 $BA$ 交 $CF$ 于点 $G$，连接 $GE$．若已知 $AB=2\sqrt{2}$，$CD=\dfrac14BC$，请求出 $GE$ 的长．
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    答案
    $GE$ 的长为 $\sqrt{10}$
    解析
    过 $A$ 作 $AH\perp BC$ 于 $H$，过 $E$ 作 $EM\perp BD$ 于 $M$，$EN\perp CF$ 于 $N$．因为 $\angle BAC=90^{\circ}$，$AB=AC$，
    所以 $BC=\sqrt{2}AB=4$，$AH=\dfrac12BC=2$．
    所以 $CD=\dfrac14BC=1$，$CH=\dfrac12BC=2$．
    所以 $DH=3$．
    由第2问证得 $BC\perp CF$，$CF=BD=5$，
    因为四边形 $ADEF$ 是正方形，
    所以 $AD=DE$，$\angle ADE=90^{\circ}$．
    因为 $BC\perp CF$，$EM\perp BD$，$EN\perp CF$，
    所以四边形 $CMEN$ 是矩形．
    所以 $NE=CM$，$EM=CN$．
    因为 $\angle AHD=\angle ADC=\angle EMD=90^{\circ}$，
    所以 $\angle ADH+\angle EDM=\angle EDM+\angle DEM=90^{\circ}$．
    所以 $\angle ADH=\angle DEM$．
    在 $\triangle ADH$ 与 $\triangle DEM$ 中，
    $\begin{cases}\angle ADH=\angle DEM,\\\angle AHD=\angle DME,\\AD=DE,\end{cases}$
    所以 $\triangle ADH\cong\triangle DEM$．
    所以 $EM=DH=3$，$DM=AH=2$．
    所以 $CN=EM=3$，$EN=CM=3$．
    因为 $\angle ABC=45^{\circ}$，
    所以 $\angle BGC=45^{\circ}$．
    所以 $\triangle BCG$ 是等腰直角三角形．
    所以 $CG=BC=4$．
    所以 $GN=1$．
    所以 $EG=\sqrt{GN^2+EN^2}=\sqrt{10}$．
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2 问题3 答案3 解析3 备注3
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