题目 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$\odot C$ 的半径为 $r$，$P$ 是与圆心 $C$ 不重合的点，点 $P$ 关于 $\odot O$ 的反称点的定义如下：若在射线 $CP$ 上存在一点 $P'$，满足 $CP+CP'=2r$，则称 $P'$ 为点 $P$ 关于 $\odot C$ 的反称点，下图为点 $P$ 及其关于 $\odot C$ 的反称点 $P'$ 的示意图．<br><img src="/static/images/41e09b82f09dacae7cd6cc1a54fb31c3.png" class="img-responsive" /> 问题1 当 $ \odot O$ 的半径为 $1$ 时．<br/>$(1)$ 分别判断点 $M\left(2,1\right)$，$N\left(\dfrac{3}{2},0\right)$，$T\left(1,\sqrt 3 \right)$ 关于 $\odot O$ 的反称点是否存在，若存在？求其坐标；<br/>$(2)$ 点 $P$ 在直线 $y=-x+2$ 上，若点 $P$ 关于 $\odot O$ 的反称点 $P'$ 存在，且点 $P'$ 不在 $x$ 轴上，求点 $P$ 的横坐标的取值范围； 答案1 $(1)$ $M\left(2,1\right)$ 关于 $\odot O$ 的反称点不存在，<br/>$N\left(\dfrac32,0\right)$ 关于 $\odot O$ 的反称点存在，反称点 $N'\left(\dfrac12,0\right)$，<br/>$T\left(1,\sqrt3\right)$ 关于 $\odot O$ 的反称点存在，反称点 $T'\left(0,0\right)$．<br/>$(2)$ 点 $P$ 的横坐标满足 $0<x<2$ 解析1 $(2)$ 设点 $P$ 的坐标为 $\left(x,-x+2\right)$，由题意知 $OP\leqslant 2$，<br/>所以 $OP^2=x^2+\left(-x+2\right)^2=2x^2-4x+4\leqslant4$．<br/>整理得 $x\left(x-2\right)\leqslant0$，所以 $0\leqslant x\leqslant2$．<br/>当 $x=2$ 时，$P\left(2,0\right)$，$P'\left(0,0\right)$ 不符合题意；<br/>当 $x=0$ 时，$P\left(0,2\right)$，$P'\left(0,0\right)$ 不符合题意．<br/>所以点 $P$ 的横坐标满足 $0<x<2$． 备注1 问题2 当 $\odot C$ 的圆心在 $x$ 轴上，半径为 $1$，直线 $y=-\dfrac{\sqrt 3}{3}x+2\sqrt 3$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于点 $A,B$，若线段 $AB$ 上存在点 $P$，使得点 $P$ 关于 $\odot C$ 的反称点 $P'$ 在 $\odot C$ 的内部，求圆心 $C$ 的横坐标的取值范围． 答案2 圆心 $C$ 的横坐标的取值范围 $2\leqslant x\leqslant 8$ 解析2 由题意得 $A\left(6,0\right)$，$B\left(0,2\sqrt3\right)$，<br/>所以 $\dfrac{OA}{OB}=\sqrt3$，$\angle OAB=30^\circ$．<br/>设 $C\left(x,0\right)$．<br/>① 当 $C$ 在 $OA$ 上时，作 $CH\perp AB$ 于 $H$，则 $CH\leqslant CP\leqslant 2r=2$．<img src="/static/images/e16cdbc154f54e13fd71305023a96220.png" class="img-responsive" />所以 $AC\leqslant4$，<br/>所以点 $C$ 的横坐标 $x\geqslant2$，当 $x=2$ 时，$C$ 点坐标 $\left(2,0\right)$，$H$ 点的反称点 $H'\left(2,0\right)$ 在圆的内部；<br/>② 当 $C$ 在 $A$ 点右侧时，$C$ 到线段 $AB$ 的距离为 $AC$ 长，$AC$ 最大值为 $2$．<img src="/static/images/4ffc55de9578e9c1b20e310f895bbf7a.png" class="img-responsive" />所以点 $C$ 的横坐标 $x\leqslant8$．<br/>综上所述，圆心 $C$ 的横坐标的取值范围 $2\leqslant x\leqslant 8$． 备注2