如图，已知点 $D$ 在双曲线 $y = \dfrac{20}{x}\left(x > 0\right)$ 的图象上，以 $D$ 为圆心的 $\odot D$ 与 $y$ 轴相切于点 $C\left(0,4\right)$，与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点，抛物线 $y = a{x^2} + bx + c$ 经过 $A,B,C$ 三点，点 $P$ 是抛物线上的动点，且线段 $AP$ 与 $BC$ 所在直线有交点 $Q$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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证明：$\angle ACO=\angle OBC$；标注答案略解析如图，过点 $D$ 作 $DE\perp x$ 轴，垂足为点 $E$，连接 $AD,BD$．
由题意知点 $D$ 的坐标为 $(5,4)$，
所以 $DA=DB=DC=5$，$DE=4$，
从而 $AE=\sqrt {AD^2-DE^2}=3$．
所以 $OA=OE-AE=2$，$OB=OA+2AE=8$．
在 $\mathrm {Rt}\triangle AOC$ 中，$\tan \angle ACO=\dfrac {OA}{CO}=\dfrac 12$．
在 $\mathrm {Rt}\triangle BOC$ 中，$\tan \angle CBO=\dfrac {CO}{OB}=\dfrac 12$．
所以 $\angle ACO=\angle CBO$． -
探究是否存在点 $P$，使点 $Q$ 为线段 $AP$ 的四等分点？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案抛物线上存在六个点 $P$，使 $Q$ 为线段 $AP$ 的三等分点，其坐标分别为 $P_1\left(4+2\sqrt {13},11-\sqrt {13}\right)$，$P_2\left(4-2\sqrt {13},11+\sqrt {13}\right)$，$P_3\left(4+2\sqrt 7,5-\sqrt 7\right)$，$P_4\left(4-2\sqrt 7,5+\sqrt 7\right)$，$P_5\left(4+2\sqrt 5,3-\sqrt 5\right)$，$P_6\left(4-2\sqrt 5,3+\sqrt 5\right)$解析由 $(1)$ 可得 $A\left(2,0\right)$，$B\left(8,0\right)$．
设抛物线的解析式为 $y=a\left(x-2\right)\left(x-8\right)$．
将 $C\left(0,4\right)$ 代入，得 $a\left(0-2\right)\left(0-8\right)=4$，
解得 $a=\dfrac 14$，
所以抛物线解析式是 $y=\dfrac 14x^2-\dfrac 52x+4$．
由点 $C\left(0,4\right)$，可设直线 $BC$ 解析式为 $y=kx+4$，
将 $B\left(8,0\right)$ 代入，得 $k=-\dfrac 12$，
所以直线 $BC$ 的解析式为 $y=-\dfrac 12x+4$．
过点 $Q,P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为 $F,G$．
设点 $P$ 的坐标为 $\left(t,\dfrac 14t^2-\dfrac 52t+4\right) $，现分情况讨论：
① $AQ:AP=1:4$，则易得 $Q\left(\dfrac {t+6}{4},\dfrac {t^2-10t+16}{16}\right)$．
因为点 $Q$ 在直线 $y=-\dfrac 12x+4$ 上，
所以 $-\dfrac 12\cdot \dfrac {t+6}{4}+4=\dfrac {t^2-10t+16}{16}$，
整理得 $t^2-8t-36=0$，
解得 $t_1=4+2\sqrt {13}$，$t_2=4-2\sqrt {13}$．
所以 $ P_1\left(4+2\sqrt {13},11-\sqrt {13}\right)$，$P_2\left(4-2\sqrt {13},11+\sqrt {13}\right) $；
② $AQ:AP=2:4$，则易得 $Q\left(\dfrac {t+2}{2},\dfrac {t^2-10t+16}{8}\right)$．
因为点 $Q$ 在直线 $y=-\dfrac 12x+4$ 上，
所以 $-\dfrac 12\cdot \dfrac {t+2}{2}+4=\dfrac {t^2-10t+16}{8}$．
整理得 $t^2-8t-12=0$，
解得 $t_3=4+2\sqrt 7$，$t_4=4-2\sqrt 7$．
所以 $P_3\left(4+2\sqrt 7,5-\sqrt 7\right)$，$P_4\left(4-2\sqrt 7,5+\sqrt 7\right)$；
③ $AQ:AP=3:4$，则易得 $Q\left(\dfrac {3t+2}{4},\dfrac {3t^2-30t+48}{16}\right)$．
因为点 $Q$ 在直线 $y=-\dfrac 12x+4$ 上，
所以 $-\dfrac 12\cdot \dfrac {3t+2}{4}+4=\dfrac {3t^2-30t+48}{16}$，
整理得 $t^2-8t-4=0$，
解得 $t_5=4+2\sqrt 5$，$t_6=4-2\sqrt 5$．
所以 $P_5\left(4+2\sqrt 5,3-\sqrt 5\right)$，$P_6\left(4-2\sqrt 5,3+\sqrt 5\right)$．
综上可得，抛物线上存在六个点 $P$，使 $Q$ 为线段 $AP$ 的三等分点，其坐标分别为 $P_1\left(4+2\sqrt {13},11-\sqrt {13}\right)$，$P_2\left(4-2\sqrt {13},11+\sqrt {13}\right)$，$P_3\left(4+2\sqrt 7,5-\sqrt 7\right)$，$P_4\left(4-2\sqrt 7,5+\sqrt 7\right)$，$P_5\left(4+2\sqrt 5,3-\sqrt 5\right)$，$P_6\left(4-2\sqrt 5,3+\sqrt 5\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
