如图，抛物线 $y=-x^2+2x+3$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$，点 $D$ 为抛物线的顶点，请解决下列问题．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
设点 $P$ 的坐标为 $\left(a,0\right)$，当 ${\left|{PD-PC}\right|}$ 最大时，求 $a$ 的值并在图中标出点 $P$ 的位置；标注答案$a=-3$，点 $P\left(-3,0\right)$解析因为在三角形中两边之差小于第三边，
所以延长 $DC$ 与 $x$ 轴的交点即为点 $P$．
设直线 $DC$ 的解析式为 $y=kx+b$，
将 $C,D$ 两点坐标代入得
$\begin{cases}
k+b=4,\\ b=3.
\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=1,\\ b=3.
\end{cases}$
即 $y=x+3$．
将点 $P$ 的坐标 $\left(a,0\right)$ 代入得 $a+3=0$，求得 $a=-3$．
如图，点 $P\left(-3,0\right)$ 即为所求．
-
在 $(1)$ 的条件下，将 $\triangle BCP$ 沿 $x$ 轴的正方向平移得到 $\triangle B'C'P'$，设点 $C$ 对应点 $C'$ 的横坐标为 $t$（其中 $0 < t < 6$），在运动过程中 $\triangle B'C'P'$ 与 $\triangle BCD$ 重叠部分的面积为 $S$，求 $S$ 与 $t$ 之间的关系式，并直接写出当 $t$ 为何值时 $S$ 最大，最大值为多少？标注答案$\begin{cases}
S=-\dfrac 54t^2+3t&\left(0<t<\dfrac 32\right),\\
S=\dfrac 1{12}t^2-t+3&\left(\dfrac 32\leqslant t<6\right).
\end{cases}$解析过点 $C$ 作 $CE\parallel x$ 轴交直线 $DB$ 于点 $E$．
由 $(2)$ 得直线 $DC$ 的解析式为 $y=x+3$．
同法得直线 $DB$ 的解析式为 $y=-2x+6$，直线 $BC$ 的解析式为 $y=-x+3$，
易得 $E$ 点为 $\left(\dfrac 32,3\right)$．
设直线 $P'C'$ 与 $BC$ 交于点 $M$．
因为 $P'C'\parallel DC$，$P'C'$ 与 $y$ 轴交于点 $\left(0,3-t\right)$，
所以直线 $P'C'$ 的解析式为 $y=x+3-t$．
联立 $\begin{cases}
y=-x+3,\\
y=x+3-t.
\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=\dfrac t2,\\ y=\dfrac{6-t}2.
\end{cases}$
所以点 $M$ 为 $\left(\dfrac t2,\dfrac{6-t}2\right)$．
因为 $B'C'\parallel BC$，$B'$ 坐标为 $\left(3+t,0\right)$，
所以直线 $B'C'$ 的解析式为 $y=-x+3+t$．
分两种情况讨论：
① 当 $0<t<\dfrac 32$ 时，如图，$B'C'$ 与 $DB$ 交于 $N$ 点．
联立 $\begin{cases}
y=-2x+6,\\
y=-x+3+t.
\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=3-t,\\
y=2t.
\end{cases}$
$N$ 点坐标为 $\left(3-t,2t\right)$．
$\begin{split}S&=S_{\triangle B'C'P'}-S_{\triangle BMP'}-S_{\triangle BNB'}\\&=\dfrac 12\times 6\times 3-\dfrac 12\left(6-t\right)\times \dfrac 12\left(6-t\right)-\dfrac 12t\times 2t\\&=-\dfrac 54t^2+3t.\end{split}$．
② 当 $\dfrac 32\leqslant t<6$ 时，如图，直线 $P'C'$ 与 $DB$ 交于 $N$ 点．
联立 $\begin{cases}
y=-2x+6,\\ y=x+3-t.
\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=\dfrac{t+3}3,\\ y=\dfrac{12-2t}3.
\end{cases}$
所以 $N$ 点坐标为 $\left(\dfrac{t+3}3,\dfrac{12-2t}3\right)$．
$\begin{split}S&=S_{\triangle BNP'}-S_{\triangle BMP'}\\ &=\dfrac 12\left(6-t\right)\times \dfrac{12-2t}3-\dfrac 12\left(6-t\right)\times \dfrac{6-t}2\\ &=\dfrac 1{12}\left(6-t\right)^2\\ &=\dfrac 1{12}t^2-t+3\end{split}.$
综上可得，$S$ 与 $t$ 之间的关系式为
$\begin{cases}
S=-\dfrac 54t^2+3t&\left(0<t<\dfrac 32\right),\\
S=\dfrac 1{12}t^2-t+3&\left(\dfrac 32\leqslant t<6\right).
\end{cases}$
经过计算验证得：当 $t=\dfrac 65$ 时，$S_{最大}=\dfrac 95$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
