如图，抛物线 $y=-x^2+2x+3$，与 $ x $ 轴交于 $A$，$B$，与 $y$ 轴交于 $C$，抛物线的顶点为 $D$，直线 $l$ 过 $C$ 交 $x$ 轴于 $E\left(4,0\right)$．$P\left(x,y\right)$ 是线段 $BD$ 上的动点（不与 $B$，$D$ 重合），$PF\perp x$ 轴于 $F$，设四边形 $OFPC$ 的面积为 $S$，求 $S$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并求 $S$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ S=-\left(x-\dfrac 94\right)^2+\dfrac {81}{16}$，当 $x=\dfrac 94$ 时，$S$ 有最大值，最大值为 $\dfrac {81}{16}$
【解析】
因为 $ y=-x^2+2x+3=-\left(x-1\right)^2+4$，
所以 $ D\left(1,4\right)$．
在 $y=-x^2+2x+3$ 中，当 $x=0$ 时，$y=3$，则 $C\left(0,3\right)$．
设直线 $l$ 的解析式为 $y=kx+b$，把 $C\left(0,3\right)$，$E\left(4,0\right)$ 分别代入得
$\begin{cases} 4k+b=0, \\ b=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-\dfrac 34, \\ b=3.\end{cases}$
所以直线 $l$ 的解析式为 $y=-\dfrac 34x+3$．
如图 $(1)$，当 $y=0$ 时，$-x^2+2x+3=0$，解得 $x_1=-1$，$x_2=3$，则 $B\left(3,0\right)$．
设直线 $BD$ 的解析式为 $y=mx+n$，把 $B\left(3,0\right)$，$D\left(1,4\right)$ 分别代入得
$\begin{cases}3m+n=0, \\ m+n=4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=-2, \\ n=6.\end{cases}$
所以直线 $BD$ 的解析式为 $y=-2x+6$，则 $P\left(x,-2x+6\right)$，
所以 $S=\dfrac 12\left(-2x+6+3\right)x=-x^2+\dfrac 92x\left(1<x< 3\right)$．
因为 $ S=-\left(x-\dfrac 94\right)^2+\dfrac {81}{16}$，
所以当 $x=\dfrac 94$ 时，$S$ 有最大值，最大值为 $\dfrac {81}{16}$．
所以 $ D\left(1,4\right)$．
在 $y=-x^2+2x+3$ 中，当 $x=0$ 时，$y=3$，则 $C\left(0,3\right)$．
设直线 $l$ 的解析式为 $y=kx+b$，把 $C\left(0,3\right)$，$E\left(4,0\right)$ 分别代入得
$\begin{cases} 4k+b=0, \\ b=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=-\dfrac 34, \\ b=3.\end{cases}$
所以直线 $l$ 的解析式为 $y=-\dfrac 34x+3$．
如图 $(1)$，当 $y=0$ 时，$-x^2+2x+3=0$，解得 $x_1=-1$，$x_2=3$，则 $B\left(3,0\right)$．
设直线 $BD$ 的解析式为 $y=mx+n$，把 $B\left(3,0\right)$，$D\left(1,4\right)$ 分别代入得
$\begin{cases}3m+n=0, \\ m+n=4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=-2, \\ n=6.\end{cases}$
所以直线 $BD$ 的解析式为 $y=-2x+6$，则 $P\left(x,-2x+6\right)$，
所以 $S=\dfrac 12\left(-2x+6+3\right)x=-x^2+\dfrac 92x\left(1<x< 3\right)$．
因为 $ S=-\left(x-\dfrac 94\right)^2+\dfrac {81}{16}$，
所以当 $x=\dfrac 94$ 时，$S$ 有最大值，最大值为 $\dfrac {81}{16}$．
答案
解析
备注
