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  代几综合

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  函数与圆

$G$ 点的横坐标为 $2$ 或 $\dfrac 23$

因为 $B,C$ 两点在抛物线 $y=ax^2+bx+2$ 上，
则 $\begin{cases} 16a+4b+2=0, \\ 4a-2b+2=0,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a=-\dfrac 14,\\
b=\dfrac 12,\end{cases}$
所以抛物线的解析式为 $y=-\dfrac 14x^2+\dfrac 12x+2$，点 $A$ 的坐标为 $(0,2)$．
设经过 $A,B$ 两点的直线解析式为 $y=kx+b$，
则 $\begin{cases}b=2,\\ 4k+b=0,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}b=2,\\ k=-\dfrac 12.\end{cases}$
所以经过 $A,B$ 两点的直线解析式为 $y=-\dfrac 12x+2$．
设 $D$ 点坐标为 $\left(x,-\dfrac 14x^2+\dfrac 12x+2\right)$，则 $F$ 点的坐标为 $\left(x,-\dfrac 12x+2\right)$．
因为 $G$ 点与 $D$ 点关于 $F$ 点对称，
所以 $G$ 点的坐标为 $\left(x,\dfrac 14x^2-\dfrac 32x+2\right)$．
以 $G$ 为圆心，$GD$ 为半径作圆，使得 $\odot G$ 与其中一条坐标轴相切．分类讨论如下：
① 若 $\odot G$ 与 $x$ 轴相切，则必须有 $DG=GE$，
即 $-\dfrac 14x^2+\dfrac 12x+2-\left(\dfrac 14x^2-\dfrac 32x+2\right)=\dfrac 14x^2-\dfrac 32x+2$，
解得 $x_{1}=\dfrac 23$，$x_{2}=4$（舍去）．
② 若 $\odot G$ 与 $y$ 轴相切，则必须有 $DG=OE$，
即 $-\dfrac 14x^2+\dfrac 12x+2-\left(\dfrac 14x^2-\dfrac 32x+2\right)=x$，
解得 $x_{1}=2$，$x_{2}=0$（舍去）．
综上所述，以 $G$ 为圆心，$GD$ 为半径作圆，当 $\odot G$ 与其中一条坐标轴相切时，$G$ 点的横坐标为 $2$ 或 $\dfrac 23$．

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  代几综合

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  平行四边形的存在性

$M,N$ 点的横坐标分别为 $2-2\sqrt 2,\dfrac 83-2\sqrt 2$，或者 $2+2\sqrt 2,\dfrac 83+2\sqrt 2$

由 $(1)$ 可得 $OA=OC$，$OA=\dfrac 12OB$，
所以 $\angle OAC=\angle OCA=45^\circ$，
而 $DH\parallel AC$，$DE\perp x$ 轴，
所以 $\angle HDE=45^\circ$，$EF=\dfrac 12EB$．
过点 $H$ 作 $HI\perp DE$ 于点 $I$．则 $ID=IH$，$IF=\dfrac 12IH$，
从而 $DF=ID+IF=\dfrac 32IH$，即 $IH=\dfrac 23 DF$，
所以 $S_{\triangle DHF}=\dfrac 12 DF\cdot IH=\dfrac 13 DF^2$．
所以当 $DF$ 最大时，$S_{\triangle DHF}$ 有最大值．
设 $D$ 点坐标为 $\left(x,-\dfrac 14x^2+\dfrac 12x+2\right)$，则 $F$ 点的坐标为 $\left(x,-\dfrac 12x+2\right)$．
所以 $DF=-\dfrac 14x^2+\dfrac 12x+2-\left(-\dfrac 12x+2\right)=-\dfrac 14x^2+x=-\dfrac 14\left(x-2\right)^2+1$，
当 $x=2$ 时，$DF$ 取最大值 $1$，从而 $S_{\triangle DHF}$ 取最大值．
此时点 $D\left(2,2\right)$，$HI=\dfrac 23$，
所以点 $H$ 的横坐标为 $\dfrac 43$，
将其代入直线 $y=-\dfrac 12x+2$，得点 $H\left(\dfrac 43,\dfrac 43\right)$．
设点 $M$ 的坐标为 $\left(m,-\dfrac 14m^2+\dfrac 12m+2\right)$，点 $N$ 的坐标为 $\left(n,-\dfrac 12n+2\right)$
① 当 $DH,MN$ 为边时，
可列方程组 $\begin{cases} n-m=\dfrac 23,\\-\dfrac 12n+2-\left(-\dfrac 14m^2+\dfrac 12m+2\right)=\dfrac 23\end{cases}$
或 $\begin{cases} m-n=\dfrac 23,\\-\dfrac 14m^2+\dfrac 12m+2-\left(-\dfrac 12n+2\right)=\dfrac 23\end{cases}$
解得 $\begin{cases} m=2\pm 2\sqrt 2,\\ n=\dfrac 83\pm 2\sqrt 2 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m=2,\\n=\dfrac 43.\end{cases}$（舍）
② 当 $DH$ 为对角线时，
可列方程组 $\begin{cases} n+m=\dfrac {10}{3},\\-\dfrac 12n+2+\left(-\dfrac 14m^2+\dfrac 12m+2\right)=\dfrac {10}{3}\end{cases}$
解得 $\begin{cases} m=2,\\n=\dfrac 43.\end{cases}$（舍）
综上可得，满足题意的点 $M,N$ 的横坐标分别为 $2-2\sqrt 2,\dfrac 83-2\sqrt 2$，或者 $2+2\sqrt 2,\dfrac 83+2\sqrt 2$．