若数列 ${A_n} : {a_1},{a_{2}}, \cdots,{a_n}\left(n \geqslant 2\right)$ 满足 $\left| {{a_{k + 1}} - {a_k}} \right| = 1\left(k = 1,2,\cdots,n - 1\right)$，则称 ${A_n}$ 为 $E$ 数列．记 $S\left({A_n}\right) = {a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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写出一个满足 ${a_1} = {a_5} = 0$，且 $S\left({A_5}\right) > 0$ 的 $E$ 数列 ${A_5}$；标注答案$ 0,1,2,1,0 $解析略
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若 ${a_1} = 12$，$ n=2000 $，证明：$ E $ 数列 ${A_n}$ 是递增数列的充要条件是 ${a_n} =2011$；标注答案略解析因为 $|a_{k+1}-a_k|=1$，所以 $a_{k+1}-a_k\leqslant 1$，
于是 $a_{2000}-a_{1999}\leqslant 1$；$a_{1999}-a_{1998}\leqslant 1$，$\cdots $，$a_2-a_1\leqslant 1$．
从而 $a_{2000}-a_1\leqslant 1999$，当且仅当 $a_{2000}-a_{1999}=a_{1999}-a_{1998}=\cdots =a_2-a_1=1$ 时取得等号．
即
$a_{2000}\leqslant 2011$，当且仅当 $E$ 数列 $A_n$ 是递增数列时取得等号．
因此原命题成立． -
对任意给定的整数 $ n\left(n\geqslant 2\right) $，是否存在首项为 $ 0 $ 的 $ E $ 数列 ${A_n}$，使得 $S\left( {A_n} \right) =0$？如果存在，写出一个满足条件的 $ E $ 数列 ${A_n}$；如果不存在，说明理由．标注答案当 $n$ 为 $4$ 的倍数时，满足条件的一个 $A_n$ 是 $\underbrace{0,1,0,-1},\underbrace{0,1,0,-1},\cdots, \underbrace{0,1,0,-1},$；
当 $n$ 为 $4$ 的倍数加 $1$ 时，满足条件的一个 $A_n$ 是 $\underbrace{0,1,0,-1},\underbrace{0,1,0,-1},\cdots ,\underbrace{0,1,0,-1},0$．
当 $n$ 为 $4$ 的倍数加 $2$ 或 $3$ 时，不存在满足条件的 $E$ 数列 $A_n$解析显然当 $i$ 是奇数时，$a_i$ 是偶数；当 $i$ 是偶数时，$a_i$ 是奇数．其中 $1\leqslant i\leqslant n$，$i\in \mathbb N^+$．
因此若 $S(A_n)=0$，则 $n$ 为 $4$ 的倍数或 $n$ 为 $4$ 的倍数加 $1$，否则 $S(A_n)$ 为奇数．
当 $n$ 为 $4$ 的倍数时，满足条件的一个 $A_n$ 是 $\underbrace{0,1,0,-1},\underbrace{0,1,0,-1},\cdots, \underbrace{0,1,0,-1},$；
当 $n$ 为 $4$ 的倍数加 $1$ 时，满足条件的一个 $A_n$ 是 $\underbrace{0,1,0,-1},\underbrace{0,1,0,-1},\cdots ,\underbrace{0,1,0,-1},0$．
当 $n$ 为 $4$ 的倍数加 $2$ 或 $3$ 时，不存在满足条件的 $E$ 数列 $A_n$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
