题目 已知 $P(x,y)$ 为函数 $y=\ln x$ 图象上一点，$O$ 为坐标原点．记直线 $OP$ 的斜率为 $k=f(x)$． 问题1 同学甲发现：点 $P$ 从左向右运动时，$f(x)$ 不断增大，试问：他的判断是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请给出你的判断； 答案1 不正确，$f(x)$ 在 $(0,{\rm e})$ 上递增，在 $({\rm e},+\infty)$ 上递减 解析1 同学甲的判断不正确．<br/>依题意，$f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，所以$$f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}},$$当 $x\in (0,{\rm e})$ 时，$f'(x)>0$；当 $x\in({\rm e},+\infty)$ 时，$f'(x)<0$．<br/>因此 $f(x)$ 在 $(0,{\rm e})$ 上递增，在 $({\rm e},+\infty)$ 上递减． 备注1 问题2 求证：当 $x>1$ 时，$f(x)<\dfrac{x-1}{x^{\frac{3}{2}}}$； 答案2 略 解析2 因为$$\begin{split}f(x)-\dfrac{x-1}{x^{\frac{3}{2}}}&=\dfrac{\ln x}{x}-\dfrac{x-1}{x^{\frac{3}{2}}}\\ &=\dfrac{\ln x-\sqrt x+\dfrac{1}{\sqrt x}}{x},\end{split}$$记 $g(x)=\ln x-\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}$，因为\[\begin{split}g'(x)&=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\\&=\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\left(2\sqrt x-x-1\right)\\&=-\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\left(\sqrt x-1\right)^{2}<0,\end{split}\]所以 $g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上为减函数，则\[\begin{split}g(x)&=\ln x-\sqrt x+\dfrac{1}{\sqrt x}\\ &<g(1)=0.\end{split}\]因为 $x>1$，所以$$f(x)-\dfrac{x-1}{x^{\frac{3}{2}}}<0,$$即$$f(x)<\dfrac{x-1}{x^{\frac{3}{2}}}.$$ 备注2 问题3 同学乙发现：总存在正实数 $a,b(a<b)$，使 $a^{b}=b^{a}$．试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由；若正确，请求出 $a$ 的取值范围． 答案3 正确，$a$ 的取值范围是 $1,{\rm e})$ 解析3 同学乙的判断正确．<br/>因为$$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x-1}{x^{\frac{3}{2}}}=0,$$且当 $x>1$ 时，$$\dfrac{x-1}{x^{\frac{3}{2}}}>0,$$又由 $(2)$ 知当 $x>1$ 时，$$f(x)<\dfrac{x-1}{x^{\frac{3}{2}}},$$所以当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to 0$，则 $f(x)$ 的图象如下图所示．<img src="/static/images/4c065d0f9b7ce93f08b4248644b62dce.png" class="img-responsive" />所以总存在正实数 $a,b$ 且$$1<a<{\rm e}<b,$$使得 $f(a)=f(b)$，即$$\dfrac{\ln a}{a}=\dfrac{\ln b}{b},$$即 $a^{b}=b^{a}$，此时$$1<a<{\rm e}.$$ 备注3