题目 已知数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1}=t$（$t\in\mathbb R$ 且 $t\ne 0,1$），$a_{2}=t^{2}$，且当 $x=t$ 时，函数 $f(x)=\dfrac{1}{2}(a_{n}-a_{n-1})x^{2}-(a_{n+1}-a_{n})x(n\geqslant 2,n\in\mathbb N^{*})$ 取得极值． 问题1 求证：数列 $\{a_{n+1}-a_{n}\}$ 是等比数列； 答案1 略 解析1 由 $f'(t)=0$，得$$(a_{n}-a_{n-1})t=a_{n+1}-a_{n}(n\geqslant 2),$$又$$a_{2}-a_{1}=t(t-1),$$其中 $t\ne 0$ 且 $t\ne 1$，所以$$a_{2}-a_{1}\ne 0,$$所以\[\dfrac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}-a_{n-1}}=t.\]因此数列 $\{a_{n+1}-a_{n}\}$ 是首项为 $t^{2}-t$，公比为 $t$ 的等比数列． 备注1 问题2 若 $b_{n}=a_{n}\ln |a_{n}|(n\in\mathbb N^{*})$，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$； 答案2 $S_{n}=\left[\dfrac{t(1-t^{n})}{(1-t)^{2}}-\dfrac{nt^{n+1}}{1-t}\right]\ln|t|$ 解析2 由 $(1)$ 知$$a_{n+1}-a_{n}=t^{n+1}-t^{n},$$所以\[\begin{split}a_{n}-a_{n-1}&=t^{n}-t^{n-1},\\a_{n-1}-a_{n-2}&=t^{n-1}-t^{n-2},\\&\cdots\\a_{2}-a_{1}&=t^{2}-t,\end{split}\]上面 $n-1$ 个等式相加，并整理得$$a_{n}=t^{n}(t\ne 0\land t\ne 1).$$因为$$b_{n}=a_{n}\ln|a_{n}|=t^{n}\cdot \ln|t^{n}|=nt^{n}\cdot \ln |t|,$$所以\[\begin{split}&S_{n}=\left(t+2\cdot t^{2}+3\cdot t^{3}+\cdots+n\cdot t^{n}\right)\cdot \ln |t|,\\ t&S_{n}=\quad\qquad\left[t^{2}+2\cdot t^{3}+\cdots+(n-1)t^{n}+n\cdot t^{n+1}\right]\cdot \ln |t|,\end{split}\]两式相减，并整理得\[S_{n}=\left[\dfrac{t(1-t^{n})}{(1-t)^{2}}-\dfrac{nt^{n+1}}{1-t}\right]\ln|t|.\] 备注2 问题3 当 $t=-\sqrt{\dfrac{7}{10}}$ 时，数列 $\{b_{n}\}$ 中是否存在最大值？如果存在，说明是第几项；如果不存在，请说明理由． 答案3 存在，第 $5$ 项 解析3 因为 $t=-\sqrt{\dfrac{7}{10}}$，即$$-1<t<0,$$所以当 $n$ 为偶数时，$$b_{n}=nt^{n}\ln |t|<0;$$当 $n$ 为奇数时，$$b_{n}=nt^{n}\ln |t|>0;$$所以最大项必须为奇数项．<br/>设最大项为 $b_{2k+1}$，则有$$\begin{cases}b_{2k+1}\geqslant b_{2k-1}\\ b_{2k+1}\geqslant b_{2k+3}\end{cases}$$即\[\begin{cases}(2k+1)t^{2k+1}\cdot \ln |t|\geqslant (2k-1)t^{2k-1}\cdot \ln |t|\\ (2k+1)t^{2k+1}\cdot \ln |t|\geqslant (2k+3)t^{2k+3}\cdot \ln |t|\end{cases}\]整理得\[\begin{cases}(2k+1)t^{2}\geqslant 2k-1\\ 2k+1\geqslant (2k+3)t^{2}\end{cases}\]将 $t^{2}=\dfrac{7}{10}$ 代入上式，解得$$\dfrac{11}{6}\leqslant k\leqslant \dfrac{17}{6}.$$因为 $k\in\mathbb N^{*}$，所以 $k=2$，即数列 $\{b_{n}\}$ 中的最大项是第 $5$ 项． 备注3