题目 已知函数 $f(x)=\dfrac{\sqrt 5}{5^{x}+\sqrt 5}$． 问题1 求 $f(1)+f(0)$ 和 $f(x)+f(1-x)$ 的值； 答案1 $f(1)+f(0)=1$，$f(x)+f(1-x)=1$ 解析1 直接计算得$$f(1)+f(0)=\dfrac{\sqrt 5}{5+\sqrt 5}+\dfrac{\sqrt 5}{1+\sqrt 5}=1,$$且$$f(x)+f(1-x)=\dfrac{\sqrt 5}{5^{x}+\sqrt 5}+\dfrac{\sqrt 5}{5^{1-x}+\sqrt 5}=\dfrac{\sqrt 5}{5^{x}+\sqrt 5}+\dfrac{\sqrt 5\cdot 5^{x}}{5+\sqrt 5\cdot 5^{x}}=1.$$ 备注1 问题2 若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n}=f\left(\dfrac{n}{m}\right)(n=1,2,3,\cdots,m)$，求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $m$ 项和 $S_{m}$； 答案2 $S_{m}=\dfrac{m-1}{2}+\dfrac{5-\sqrt 5}{4}$ 解析2 由 $(1)$ 得 $f\left(\dfrac{k}{m}\right)+f\left(1-\dfrac{k}{m}\right)=1(1\leqslant k\leqslant m-1)$，即$$f\left(\dfrac{k}{m}\right)+f\left(\dfrac{m-k}{m}\right)=1,$$所以$$a_{k}+a_{m-k}=1.$$由$$S_{m}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{m-1}+a_{m},$$得\[S_{m}=a_{m-1}+a_{m-2}+\cdots+a_{1}+a_{m},\]两式相加得\[2S_{m}=(m-1)\times 1+2a_{m},\]所以\[\begin{split}S_{m}&=(m-1)\cdot \dfrac{1}{2}+f(1)\\ &=\dfrac{m-1}{2}+\dfrac{5-\sqrt 5}{4}.\end{split}\] 备注2 问题3 设数列 $\{b_{n}\}$ 满足：$b_{1}=\dfrac{1}{2}$，$b_{n+1}=b_{n}^{2}+b_{n}$，设 $T_{n}=\dfrac{1}{b_{1}+1}+\dfrac{1}{b_{2}+1}+\cdots+\dfrac{1}{b_{n}+1}$，若 $(2)$ 中的 $S_{m}$ 满足对任意不小于 $3$ 的正整数 $n$，$4S_{n}<777T_{n}+\sqrt 5$ 恒成立，试求 $m$ 的最大值． 答案3 $650$ 解析3 因为 $b_{1}=\dfrac{1}{2}$，$b_{n+1}=b_{n}^{2}+b_{n}=b_{n}(b_{n}+1)$，所以对任意的 $n\in\mathbb N^{*},b_{n}>0$，有\[\dfrac{1}{b_{n+1}}=\dfrac{1}{b_{n}(b_{n}+1)}=\dfrac{1}{b_{n}}-\dfrac{1}{b_{n}+1},\]即$$\dfrac{1}{b_{n}+1}=\dfrac{1}{b_n}-\dfrac{1}{b_{n+1}},$$所以\[b_{n+1}-b_{n}=b_{n}^{2}>0,\]故 $b_{n+1}>b_{n}$，即数列 $\{b_{n}\}$ 是单调递增数列，所以 $T_{n}$ 关于 $n$ 递增，当 $n\geqslant 3$，且 $n\in\mathbb N^{*}$ 时，$T_{n}\geqslant T_{3}$．<br/>因为 $b_{1}=\dfrac{1}{2}$，$b_{2}=\dfrac{3}{4}$，$b_{3}=\dfrac{21}{16}$，$b_{4}=\dfrac{777}{256}$，所以\[T_{n}\geqslant T_{3}=2-\dfrac{1}{b_{n}}=2-\dfrac{256}{777},\]所以\[4S_{m}<777T_{3}+\sqrt 5,\]故 $m<650.5$．<br/>因为 $m$ 为正整数，所以 $m$ 的最大值为 $650$． 备注3