题目 已知数列 $\left\{ {x_n}\right\} $ 满足 ${x_1} = 4$，${x_{n + 1}} = \dfrac{x_n^2 - 3}{{2{x_n} - 4}} $． 问题1 求证：${x_n} > 3$； 答案1 略 解析1 用数学归纳法证明． 备注1 问题2 求证：${x_{n + 1}} < {x_n}$； 答案2 略 解析2 因为$$x_{n+1}-x_{n}=-\dfrac{(x_{n}-1)(x_{n}-3)}{2x_{n}-4},$$利用 $(1)$ 的结论 $x_n>3$，所以 $x_{n+1}-x_n<0$，得证． 备注2 问题3 求数列 $\left\{ {x_n}\right\} $ 的通项公式． 答案3 $x_{n}=\dfrac{3^{2^{n-1}+1}-1}{3^{2^{n+1}}-1}$ 解析3 不动点方程为$$x=\dfrac{x^{2}-3}{2x-4},$$解得 $x=3$ 或 $x=1$．令 $b_{n}=\dfrac{x_{n}}{x_{n}-3}$，则$$b_{n+1}=b_{n}^{2},$$而 $b_{1}=3$，所以 $b_{n}=3^{2^{n+1}}$，于是$$x_{n}=\dfrac{3^{2^{n-1}+1}-1}{3^{2^{n+1}}-1}.$$ 备注3