题目 如图，直线 $l\perp AB$ 于点 $B$，点 $C$ 在 $AB$ 上，且 $AC:CB=2:1$，点 $M$ 是直线上的动点，作点 $B$ 关于直线 $CM$ 的对称点 $B'$，直线 $AB'$ 与直线 $CM$ 相交于点 $P$，连接 $PB$．<br><img src="/static/images/8a284acc6ce431becce4f2a8da13f9da.png" class="img-responsive" /> 问题1 如图1，若点 $P$ 与点 $M$ 重合，则 $\angle PAB=$ <nn> </nn>，线段 $PA$ 与 $PB$ 的比值为 $\angle PAB=$ <nn> </nn>． 答案1 $30^\circ$；$2$ 解析1 略 备注1 问题2 如图2，若点 $P$ 与点 $M$ 不重合，设过 $P,B,C$ 三点的圆与直线 $AP$ 相交于点 $D$，连接 $CD$．求证：<br/>$(1)$ $CD=CB'$；<br/>$(2)$ $PA=2PB$． 答案2 $(1)$ 由点 $B$ 与点 $B'$ 关于 $PC$ 对称，<br/>可得 $\angle DPC=\angle B'PC=\angle BPC$，$CB'=CB$，<br/>因为四边形 $DCPB$ 是圆内接四边形，<br/>所以 $CD=CB=CB'$．<br/>$(2)$ 如图，过点 $B$ 作 $BE\parallel CP$ 交 $AP$ 延长线于点 $E$．<img src="/static/images/037ebd83de8674c1747b041dfc55ebf6.png" class="img-responsive" />由 $(1)$ 可得 $\angle DPC=\angle BPC$，<br/>从而 $\angle E=\angle DPC=\angle CPB=\angle PBE$，<br/>所以 $PB=PE$．<br/>可得 $\dfrac{PA}{PB}=\dfrac{PA}{PE}=\dfrac{CA}{CB}=2$，<br/>所以 $PA=2PB$ 解析2 略 备注2 问题3 如图3，若 $AC=2,BC=1$，则满足条件 $PA=2PB$ 的点都在一个确定的圆上．如果你能发现这个确定圆的圆心和半径，那么不必写出发现过程，只要证明这个圆上的任意一点 $Q$，都满足 $QA=2QB$． 答案3 由阿氏圆的概念可得满足 $PA=2PB$ 的点都在一个确定的圆上．<br/>作点 $A$ 关于 $l$ 的对称点 $D$，有 $DA=2DB$，<br/>则该圆是以 $CD$ 为直径的 $\odot O$，则 $OA=4$，$OB=1$．<img src="/static/images/d3da98e1e8953081685498bd7e8ed0f5.png" class="img-responsive" />在 $\odot O$ 上任取一点 $Q$，连接 $QA,QB,QO$，则 $OQ=2$，<br/>所以 $\dfrac{OA}{OQ}=\dfrac{OQ}{OB}=2$．<br/>所以 $\triangle AOQ\sim \triangle QOB$，且相似比 $k=2$，<br/>从而得到 $QA=2OB$ 解析3 略 备注3 已知平面上两点 $A,B$，则所有满足 $\dfrac{PA}{PB}=k$（$k\ne 1$）的点 $P$ 的轨迹是一个[[圆]]，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称 $\textbf{阿波罗尼斯圆}$，简称 $\textbf{阿氏圆}$．