题目 已知数列 $\left\{ {a_n}\right\} $ 的前 $n$ 项和为 ${S_n}$，${a_1} = 1$，$ {S_{n + 1}} = 4{a_n} + 1$，设 ${b_n} = {a_{n + 1}} - 2{a_n}$． 问题1 证明数列 $\left\{ {b_n}\right\} $ 是等比数列； 答案1 略 解析1 因为 $S_{n+1}=4a_{n}+1$，所以$$S_{n+2}=4a_{n+1}+1,$$于是$$a_{n+2}=4(a_{n+1}-a_{n}).$$对于数列 $\{b_{n}\}$，有\[\begin{split}\dfrac{b_{n+1}}{b_{n}}&=\dfrac{a_{n+2}-2a_{n+1}}{a_{n+1}-2a_{n}}\\ &=\dfrac{4(a_{n+1}-a_{n})-2a_{n+1}}{a_{n+1}-2a_{n}}\\ &=2.\end{split}\]又 $b_{1}=a_{2}-2a_{1}=2$，所以数列 $\{b_{n}\}$ 是首项为 $2$，公比为 $2$ 的等比数列． 备注1 问题2 数列 $\left\{ {c_n}\right\} $ 满足 ${c_n} = \dfrac{1}{{{{\log }_2}{b_n} + 3}}\left(n \in {{\mathbb{N}}^*}\right)$，设 ${T_n} = {c_1}{c_2} + {c_2}{c_3} + {c_3}{c_4} + \cdots + {c_n}{c_{n + 1}}$，若对一切 $n \in {{\mathbb{N}}^*}$，不等式 $4m{T_n} > \left(n + 2\right){c_n}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围． 答案2 $\left(\dfrac{15}{4},+\infty\right)$ 解析2 由 $(1)$ 可知 $b_{n}=2^{n}$，则$$c_{n}=\dfrac{1}{\log_{2}b_{n}+3}=\dfrac{1}{n+3}(n\in\mathbb N^{*}).$$从而\[\begin{split}T_{n}&=c_{1}c_{2}+c_{2}c_{3}+c_{3}c_{4}+\cdots+c_{n}c_{n+1}\\&=\dfrac{1}{4\cdot 5}+\dfrac{1}{5\cdot 6}+\dfrac{1}{6\cdot 7}+\cdots+\dfrac{1}{(n+3)(n+4)}\\&=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{n+4}\\&=\dfrac{n}{n+4}.\end{split}\]由 $4mT_{n}>(n+2)c_{n}$，得\[\dfrac{mn}{n+4}>\dfrac{n+2}{n+3},\]即\[m>\dfrac{n^{2}+6n+8}{n^{2}+3n}.\]记右侧数列为 $A_n$，则\[A_{n+1}-A_n=\dfrac{-32 - 19 n - 3 n^2}{n (3 + n) (4 + 5 n + n^2)},\]因此 $\{A_n\}$ 单调递减，其最大值为 $A_1=\dfrac{15}4$．于是 $m$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{15}{4},+\infty\right)$． 备注2