题目 设各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $ n $ 项和为 $S_n$，已知 $2a_2=a_1+a_3$，数列 $\left\{\sqrt {S_n}\right\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列． 问题1 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式（用 $n$，$d$ 表示）； 答案1 $ a_n=\left(2n-1\right)d^2 $ 解析1 由题意知，$$S_n=(\sqrt {a_1}+(n-1)d)^2,$$所以 $n\geqslant 2$ 时，$$a_n=S_n-S_{n-1}=d\cdot (2\sqrt {a_1}+(2n-3)d).$$由 $2a_2=a_1+a_3$ 得 $a_1=d^2$，代入上式成立，所以$$a_n=(2n-1)d^2.$$ 备注1 问题2 设 $c$ 为实数，对满足 $m+n=3k$ 且 $m \ne n$ 的任意正整数 $m$，$n$，$k$，不等式 $S_m +S_n > c S_k$ 都成立．求证：$c$ 的最大值为 $\dfrac 9 2 $． 答案2 略 解析2 由 $(1)$ 知，$$S_n = n^2d^2,$$由 $S_m+S_n > cS_k$ 得$$m^2+n^2>ck^2,$$即\[c < \dfrac {m^2+n^2} {k^2}=\dfrac{(3k-n)^{2}+n^{2}}{k^{2}}=2\cdot \left(\dfrac{n}{k}\right)^{2}-6\cdot \dfrac{n}{k}+9 .\]设 $f(x)=2x^{2}-6x+9$，$x>0$，则 $f(x)$ 的最小值为$$f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{9}{2}.$$由于 $\dfrac{n}{k}$ 的取值范围为不等于 $\dfrac{3}{2}$ 的所有正有理数，于是 $c$ 的取值范围为 $\left(-\infty,\dfrac{9}{2}\right]$，因此 $c$ 的最大值为 $\dfrac{9}{2}$，命题得证． 备注2