题目 已知数列 $A_n:a_1,a_2,\cdots,a_n$，如果数列 $B_n:b_1,b_2,\cdots,b_n$ 满足 $b_1=a_n,b_k=a_{k-1}+a_k-b_{k-1}$，其中 $k=2,3,\cdots,n$，则称 $B_n$ 为 $A_n$ 的“衍生数列”． 问题1 若数列 $A_4:a_1,a_2,a_3,a_4$ 的“衍生数列”是 $B_4:5,-2,7,2$，求 $A_4$； 答案1 $A_4:2,1,4,5$ 解析1 $A_4:2,1,4,5$； 备注1 问题2 若 $n$ 为偶数，且 $A_n$ 的“衍生数列”是 $B_n$，证明：$B_n$ 的“衍生数列”是 $A_n$； 答案2 略 解析2 由已知$$b_1=a_1-(a_1-a_n),b_2=a_1+a_2-n_1=a_2+(a_1-a_n),$$因此，猜想 $b_i=a_i+(-1)^i(a_1-a_n)$．<br/><case>归纳基础</case>当 $i=1$ 时，$b_1=a_1-(a_1-a_n)$，猜想成立；<br/><case>递推证明</case>假设 $i=k,k\in\mathbb N^*$ 时，$b_k=a_k+(-1)^k(a_1-a_n)$．<br/>当 $i=k+1$ 时，$$\begin{split}b_{k+1}&=a_k+a_{k+1}-b_k\\ &=a_k+a_{k+1}-[a_k+(-1)^k(a_1-a_n)]\\ &=a_{k+1}+(-1)^{k+1}(a_1-a_n),\end{split}$$故当 $i=k+1$ 时，猜想也成立．<br/>因此，对于任意正整数 $i$，有$$b_i=a_i+(-1)^i(a_1-a_n),$$设数列 $B_n$ 的“衍生数列”为 $C_n$，则由以上结论可知$$\begin{split}c_i&=b_i+(-1)^i(b_1-b_n)\\ &=a_i+(-1)^i(a_1-a_n)+(-1)^{i}(b_1-b_n),\end{split}$$其中 $i=1,2,3,\cdots,n$．<br/>由于 $n$ 为偶数，所以$$b_n=a_n+(-1)^n(a_1-a_n)=a_1,$$所以$$c_i=a_i+(-1)^i(a_1-a_n)+(-1)^i(a_n-a_1)=a_i,$$其中 $i=1,2,3,\cdots,n$．<br/>因此，数列 $C_n$ 即是数列 $A_n$． 备注2 问题3 若 $n$ 为奇数，且 $A_n$ 的“衍生数列”是 $B_n$，$B_n$ 的“衍生数列”是 $C_n$，$\cdots$，依次将数列 $A_n,B_n,C_n$ 的第 $i(i=1,2,\cdots,n)$ 项取出，构成数列 $\Omega_i:a_i,b_i,c_i,\cdots$．证明：$\Omega_i$ 是等差数列． 答案3 略 解析3 设数列 $X_n,Y_n,Z_n$ 中后者是前者的“衍生数列”．欲证 $\Omega_{i}$ 成等差数列，只需证明 $x_i,y_i,z_i$ 成等差数列，即只要证明 $2y_i=x_i+z_i(i=1,2,\cdots,n)$ 即可．<br/>由 $(2)$ 中结论可知 $y_i=x_i+(-1)^i(x_1-x_n)$，同时\[\begin{split}z_i&=y_i+(-1)^i(y_1-y_n)\\&=x_i+(-1)^i(x_1-x_n)+(-1)^i(y_1-y_n)\\&=x_i+(-1)^i(x_1-x_n)+(-1)^i\left[x_n-x_n-(-1)^n(x_1-x_n)\right]\\&=x_i+(-1)^i(x_1-x_n)+(-1)^i(x_1-x_n)\\&=x_i+2(-1)^i(x_1-x_n),\end{split}\]所以$$x_i+z_i=2x_i+2(-1)^i(x_1-x_n)=2y_i,$$即 $x_i,y_i,z_i$ 成等差数列，所以 $\Omega_i$ 是等差数列． 备注3