题目 设函数 $f(x)=x\ln x+(a-x)\ln(a-x)(a>0)$． 问题1 当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值； 答案1 $\ln\dfrac12$ 解析1 当 $a=1$ 时，$$f(x)=x\ln x+(1-x)\ln(1-x)(0<x<1),$$则$$f'(x)=\ln x-\ln(1-x)=\dfrac{x}{1-x},$$令 $f'(x)=0$，得 $x=\dfrac12$．<br/>当 $0<x<\dfrac12$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac12\right)$ 上是减函数；<br/>当 $\dfrac12<x<1$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 在 $\left(\dfrac12,1\right)$ 上是整函数；<br/>所以 $f(x)$ 在 $x=\dfrac12$ 时取得最小值，故 $f(x)$ 的最小值为$$f\left(\dfrac12\right)=\ln\dfrac12.$$ 备注1 问题2 证明：对 $\forall x_1,x_2\in\mathbb R^+$，都有 $x_1\ln x_1+x_2\ln x_2\geqslant(x_1+x_2)[\ln(x_1+x_2)-\ln2]$； 答案2 略 解析2 因为$$f(x)=x\ln x+(a-x)\ln(a-x),$$所以$$f'(x)=\ln x-\ln(a-x)=\ln\dfrac{x}{a-x},$$所以当 $x=\dfrac{a}{2}$ 时，函数 $f(x)$ 有最小值．<br/>对任意 $x_1,x_2\in\mathbb R^+$，不妨设 $x_1+x_2=b$，则\[\begin{split}x_1\ln x_1+x_2\ln x_2&=x_1\ln x_1+(b-x_1)\ln(b-x_1)\\&\geqslant2\cdot\dfrac{x_1+x_2}{2}\ln\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)\\&=(x_1+x_2)[\ln(x_1+x_2)-\ln2],\end{split}\] 备注2 问题3 证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2^n}{x_i\ln x_i}\geqslant-\ln2^n(i,n\in\mathbb N^*)$． 答案3 略 解析3 不妨设 $x_1+x_2+\cdots+x_{2^n}=1$，那么由 $(2)$ 可得\[\begin{split}&x_1\ln x_1+x_2\ln x_2+\cdots+x_{2^n}\ln x_{2^n}\\&\geqslant(x_1+x_2)\ln[(x_1+x_2)-\ln2]+\cdots+(x_{2^n-1}+x_{2^n})\ln[(x_{2^n-1}+x^{2^n})-\ln 2]\\&=(x_1+x_2)\ln(x_1+x_2)+\cdots+(x_{2^n-1}+x_{2^n})\ln(x_{2^n-1}+x_{2^n})-(x_1+x_2+\cdots+x_{2^n})\ln2\\&=(x_1+x_2)\ln(x_1+x_2)+\cdots+(x_{2^n-1}+x_{2^n})\ln(x_{2^n-1}+x_{2^n}-\ln2\\&\geqslant(x_1+x_2+x_3+x_4)\ln(x_1+x_2+x_3+x_4)+\cdots+(x_{2^n-1}+x_{2^n})\ln(x_{2^n-1}+x_{2^n})-2\ln2\\&\geqslant\cdots\\&\geqslant(x_1+x_2+\cdots+x_{2^n})\ln[(x_1+x_2+\cdots+x_{2^n})-\ln2]-(n-1)\ln2\\&=-\ln 2^n.\end{split}\] 备注3 也可以用数学归纳法解决．