若函数 $f(x)$ 对任意的 $x\in\mathbb R$，均有 $f(x+1)+f(x-1)\geqslant2f(x)$，则称函数 $f(x)$ 具有性质 $P$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
判断下面两个函数是否具有性质 $P$，并说明理由；
① $y=a^x(a>1)$；② $y=x^3$；标注答案$y=a^x$ 具有性质 $P$，$y=x^3$ 不具有性质 $P$解析① 结合均值不等式，$$f(x+1)+f(x-1)-2f(x)=a^{x+1}+a^{x-1}-2a^x\geqslant0,$$所以 $y=a^x$ 具有性质 $P$．
② 取 $x=-1$．则$$f(x+1)+f(x-1)-2f(x)=0^3+(-2)^3-2(-1)^3=-6<0,$$所以 $y=x^3$ 不具有性质 $P$． -
若函数 $f(x)$ 均有性质 $P$，且 $f(0)=f(n)=0(n>2,n\in\mathbb N^*)$，求证：对任意 $i\in\{1,2,3,\cdots,n-1\}$ 有 $f(i)\leqslant0$；标注答案略解析对 $i\in\{1,2,\cdots,n-1\}$，有$$f(i+1)+f(i-1)\geqslant 2f(i),$$即$$f(i+1)-f(i)\geqslant f(i)-f(i-1),$$用反证法，设有若干 $i\in\{1,2,\cdots n-1\}$，使得 $f(i)>0$，其中 $k$ 是这些数中最小的（$k\geqslant1$）．
因此$$f(k)>0,$$且$$f(1),f(2),\cdots,f(k-1)\leqslant0,$$因此$$f(k)-f(k-1)>0,$$从而$$f(n)-f(n-1)\geqslant f(n-1)-f(n-2)\geqslant\cdots\geqslant f(k)-f(k-1)>0,$$累加，有 $f(n)-f(k)>0$，因此$$f(n)>f(k)>0,$$矛盾． -
在 $(2)$ 的条件下，是否对任意 $x\in[0,n]$ 均有 $f(x)\leqslant0$，若成立给出证明，若不成立请给出反例．标注答案不成立．反例 $f(x)=\begin{cases}0,x\in\mathbb N^*\\1,x\not\in\mathbb N\end{cases}$解析不成立，反例 $f(x)=\begin{cases}0,x\in\mathbb N^*\\1,x\not\in\mathbb N\end{cases}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
