如图 1，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB=90^\circ $，$AC=BC$，$\angle EAC=90^\circ $，点 $M$ 为射线 $AE$ 上任意一点（不与 $A$ 重合），连接 $CM$，将线段 $CM$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转 $90^\circ $ 得到线段 $CN$，直线 $NB$ 分别交直线 $CM$、射线 $AE$ 于点 $F$，$D$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
直接写出 $\angle NDE$ 的度数；标注答案$\angle NDE=90^\circ$解析因为 $\angle ACB=90^\circ$，$\angle MCN=90^\circ $，
所以 $\angle ACM=\angle BCN$，
在 $\triangle MAC $ 和 $\triangle NBC $ 中，
$ \begin{cases}AC=BC,\\\angle ACM=\angle BCN,\\MC=NC,\end{cases} $
所以 $\triangle MAC\cong \triangle NBC $，
所以 $\angle NBC=\angle MAC=90^\circ $．
因为 $\angle ACB=90^\circ $，$ \angle EAC=90^\circ $，
所以 $\angle NDE=90^\circ $． -
如图 2、图 3，当 $\angle EAC$ 为锐角或钝角时，其他条件不变，$(1)$ 中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；标注答案不变解析在 $\triangle MAC$ 和 $ \triangle NBC$ 中，
$ \begin{cases}AC=BC,\\\angle ACM=\angle BCN,\\MC=NC,\end{cases} $
所以 $\triangle MAC\cong \triangle NBC$，
所以 $\angle N=\angle AMC$．
因为 $\angle MFD=\angle NFC$，
所以 $\angle MDF=\angle FCN=90^\circ $，即 $\angle NDE=90^\circ$． -
如图 4，若 $\angle EAC=15^\circ $，$\angle ACM=60^\circ $，直线 $CM$ 与 $AB$ 交于 $G$，$BD=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}$，其他条件不变，求线段 $AM$ 的长．标注答案线段 $AM$ 的长为 $\sqrt6$解析作 $GK\perp BC$ 于点 $K$．
因为 $\angle EAC=15^\circ $，
所以 $\angle BAD=30^\circ $，
因为 $\angle ACM=60^\circ $，
所以 $\angle GCB=30^\circ $，
所以 $\angle AGC=\angle ABC+\angle GCB=75^\circ $，$\angle AMG=75^\circ $，
所以 $AM=AG$．
因为 $\triangle MAC\cong \triangle NBC$，
所以 $\angle MAC=\angle NBC$，
所以 $\angle BDA=\angle BCA=90^\circ $．
因为 $BD=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2} $，
所以 $AB=\sqrt6 +\sqrt2 $，$AC=BC=\sqrt3 +1$，
设 $BK=a$，则 $GK=a$，$CK=\sqrt3 a$，
所以 $a+\sqrt3 a=\sqrt3 +1$，
所以 $a=1$，
所以 $KB=KG=1$，$BG=\sqrt2 $，$AG=\sqrt6 $，
所以 $AM=\sqrt6 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
