题目 已知函数 $f(x)=\ln (ax+1)+\dfrac{1-x}{1+x}$，$x\geqslant 0$，$a>0$． 问题1 若 $f(x)$ 的最小值为 $1$，求实数 $a$ 的取值范围； 答案1 $[2,+\infty)$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{ax^2+a-2}{(ax+1)(1+x)^2}.$$注意到 $f(0)=1$，因此 $f'(0)\geqslant 0$，从而 $a\geqslant 2$，否则在 $\left(0,\sqrt{\dfrac{2-a}a}\right)$ 上，$f(x)$ 单调递减，又 $f(0)=1$，不符合题意．<br/>当 $a\geqslant 2$ 时，有 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，符合题意．<br/>综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[2,+\infty)$． 备注1 问题2 若 $f(x)$ 的最小值为 $\ln 2$，求实数 $a$ 的取值范围． 答案2 $\{1\}$ 解析2 根据 $(1)$，必然有 $0<a<2$．此时 $f(x)$ 的极小值，亦为最小值为$$m=f\left(\sqrt{\dfrac{2-a}a}\right)=\ln\left(\sqrt{a(2-a)}+1\right)+\dfrac{\sqrt a-\sqrt{2-a}}{\sqrt a+\sqrt{2-a}},$$设 $t=\sqrt{a(2-a)}$，则 $t\in (0,1]$．<br/><case>情形一</case>当 $0<a<1$ 时，有$$m=\ln (t+1)-\dfrac{\sqrt {2-2t}}{\sqrt{2+2t}}<\ln (t+1)\leqslant \ln 2,$$不符合题意．<br/><case>情形二</case>当 $a\geqslant 1$ 时，有$$m=\ln (t+1)+\dfrac{\sqrt{2-2t}}{\sqrt{2+2t}}=\ln (t+1)+\dfrac{\sqrt{1-t}}{\sqrt{1+t}},$$有$$m'_t=\dfrac{1}{t+1}\left[1-\dfrac12\left(\dfrac{\sqrt{1+t}}{\sqrt{1-t}}+\dfrac{\sqrt{1-t}}{\sqrt{1+t}}\right)\right]\leqslant 0,$$于是 $m$ 在 $(0,1]$ 上单调递减，因此 $m\geqslant m\mid_{t=1}=\ln 2$，等号当且仅当 $t=1$，即 $a=1$ 时取得．<br/>综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\{1\}$． 备注2