无

略

{\color{cyan}\bf 代数变形\quad} 原不等式即$$\left(\sum_{cyc}\csc\dfrac A2+\sum_{cyc}\cot\dfrac A2\right)\left(\sum_{cyc}\csc\dfrac A2-\sum_{cyc}\cot\dfrac A2\right)\geqslant 9,$$也即$$\sum_{cyc}\dfrac{1+\cos\dfrac A2}{\sin\dfrac A2}\cdot \sum_{cyc}\dfrac{1-\cos\dfrac A2}{\sin\dfrac A2}\geqslant 9,$$由半角正切公式，可得$$LHS=\sum_{cyc}\cot\dfrac{A}{4}\cdot \sum_{cyc} \tan\dfrac{A}{4},$$而由柯西不等式，有$$\sum_{cyc}\cot\dfrac{A}{4}\cdot \sum_{cyc} \tan\dfrac{A}{4}\geqslant 9,$$因此原不等式得证．
{\color{cyan}\bf 内切圆代换\quad} 如图，作 $\triangle ABC$ 的内切圆，切点分别为 $D,E,F$，且 $AE=AF=x$，$BD=BF=y$，$CD=CE=z$，内切圆半径为 $r$，圆心为 $I$．于是欲证不等式即$$\left(\dfrac{IA}{r}+\dfrac{IB}{r}+\dfrac{IC}{r}\right)^2\geqslant 9+\left(\dfrac{x}{r}+\dfrac{y}{r}+\dfrac{z}{r}\right)^2,$$也即$$(IA+IB+IC)^2\geqslant (r+r+r)^2+(x+y+z)^2,$$根据Minkowski不等式，有\begin{eqnarray*}\begin{split} \sqrt{(r+r+r)^2+(x+y+z)^2}&\leqslant \sqrt{r^2+x^2}+\sqrt{r^2+y^2}+\sqrt{r^2+z^2}\\ &=IA+IB+IC,\end{split} \end{eqnarray*}于是原不等式得证．
{\color{cyan}\bf 注\quad}Minkowski不等式（闵可夫斯基不等式）$$\left[\sum_{i=1}^n\left(x_i+y_i\right)^p\right]^{\frac{1}{p}}\leqslant \left(\sum_{i=1}^n{x_i^p}\right)^{\frac 1p}+\left(\sum_{i=1}^n{y_i^p}\right)^{\frac 1p},$$其中 $x_i,y_i>0$，且 $p>1$．
当 $p<1$ 时，上述不等式的结论变为左边不小于右边．