已知 $A,B,C$ 是 $\triangle ABC$ 的三个内角，求证：$$\left(\csc\dfrac A2+\csc\dfrac B2+\csc\dfrac C2\right)^2\geqslant 9+\left(\cot\dfrac A2+\cot\dfrac B2+\cot\dfrac C2\right)^2,$$并指明等号取得的条件．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，作 $\triangle ABC$ 的内切圆，切点分别为 $D,E,F$，且 $AE=AF=x$，$BD=BF=y$，$CD=CE=z$，内切圆半径为 $r$，圆心为 $I$．
于是欲证不等式即$$\left(\dfrac{IA}{r}+\dfrac{IB}{r}+\dfrac{IC}{r}\right)^2\geqslant 9+\left(\dfrac{x}{r}+\dfrac{y}{r}+\dfrac{z}{r}\right)^2,$$也即$$(IA+IB+IC)^2\geqslant (r+r+r)^2+(x+y+z)^2,$$根据Minkowski不等式，有\begin{eqnarray*}\begin{split} \sqrt{(r+r+r)^2+(x+y+z)^2}&\leqslant \sqrt{r^2+x^2}+\sqrt{r^2+y^2}+\sqrt{r^2+z^2}\\ &=IA+IB+IC,\end{split} \end{eqnarray*}于是原不等式得证．
于是欲证不等式即$$\left(\dfrac{IA}{r}+\dfrac{IB}{r}+\dfrac{IC}{r}\right)^2\geqslant 9+\left(\dfrac{x}{r}+\dfrac{y}{r}+\dfrac{z}{r}\right)^2,$$也即$$(IA+IB+IC)^2\geqslant (r+r+r)^2+(x+y+z)^2,$$根据Minkowski不等式，有\begin{eqnarray*}\begin{split} \sqrt{(r+r+r)^2+(x+y+z)^2}&\leqslant \sqrt{r^2+x^2}+\sqrt{r^2+y^2}+\sqrt{r^2+z^2}\\ &=IA+IB+IC,\end{split} \end{eqnarray*}于是原不等式得证．
答案
解析
备注
