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已知函数 $f(x)=a\ln x+\dfrac 1x+\dfrac 1{2x^2}$，$a\in\mathbb R$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的单调性
  • 题型
    >
    微积分初步
    >
    函数不等式的证明
  1. 讨论函数 $f(x)$ 的单调性；
    标注
    • 知识点
      >
      微积分初步
      >
      利用导数研究函数的性质
      >
      利用导数研究函数的单调性
    答案
    当 $a \leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递减；
    当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2a} \right) $ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{1+\sqrt {1+4a}}{2a},+ \infty \right) $ 上单调递增
    解析
    $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac 1{x^3}\left(ax^2-x-1\right) ,$$进而可得：
    情形一当 $a \leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递减；
    情形二当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2a} \right) $ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{1+\sqrt {1+4a}}{2a},+ \infty \right) $ 上单调递增．
  2. 证明：$(x-1)\left({\rm e} ^{-x}-x\right)+2\ln x<\dfrac 23$．
    标注
    • 题型
      >
      微积分初步
      >
      函数不等式的证明
    答案
    略
    解析
    直接利用对数函数不等式$$\ln x\leqslant x-1$$进行放缩消去对数符号：\[\begin{split} (x-1)\left({\rm e} ^{-x}-x\right)+2\ln x&\leqslant (x-1)\left({\rm e} ^{-x}-x\right)+2(x-1)\\&=(x-1)\cdot {\rm e} ^{-x}+(2-x)(x-1).\end{split}\]由于$$\left(\dfrac{x-1}{{\rm e} ^{x}}\right)'=\dfrac{2-x}{{\rm e} ^x},$$于是其最大值为$$\left. \left(\dfrac{x-1}{{\rm e} ^{x}}\right)\right|_{x=2}=\dfrac{1}{{\rm e} ^2},$$因此欲证明不等式左边$$ (x-1)\left({\rm e} ^{-x}-x\right)+2\ln x\leqslant \dfrac{1}{{\rm e} ^2}+\dfrac 14<\dfrac23.$$
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2
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