若实数 $x,y$ 满足 $x\geqslant -1,y\geqslant -1$，且 $2^x+2^y=4^x+4^y$，求 $2^{2x-y}+2^{2y-x}$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[2,1+\dfrac {3\sqrt 2}{2}\right]$
【解析】
设 $2^x=a,2^y=b$，则 $a,b\geqslant \dfrac 12$，且$$a^2+b^2=a+b$$记所求代数式为 $M$，则$$M=\dfrac {b^2}{a}+\dfrac {a^2}{b}.\cdots (1)$$由 $(1)$ 知可以令$$\begin{cases} a=\dfrac 12+\dfrac {\sqrt 2}{2}\cos\theta,\\b=\dfrac 12+\dfrac {\sqrt 2}{2}\sin\theta,\end{cases}\theta\in\left[0,\dfrac {\pi}{2}\right].$$代入 $M$ 中化简得$$M=\dfrac{\left[2+\sqrt 2(\sin\theta+\cos\theta)\right]\cdot\left[3+\sqrt 2(\sin\theta+\cos\theta)-2\sin\theta\cos\theta\right]}{2\left[1+\sqrt 2(\sin\theta+\cos\theta)+2\sin\theta\cos\theta\right]}.$$令 $t=\sin\theta+\cos\theta$，则 $t=\sqrt 2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\in [1,\sqrt 2]$，且 $2\sin\theta\cos\theta=t^2-1$．
代入前面式子得$$M=\dfrac {\sqrt 2}{2}\left(\dfrac 4t-t\right)+1\in\left[2,1+\dfrac 32\sqrt 2\right].$$
代入前面式子得$$M=\dfrac {\sqrt 2}{2}\left(\dfrac 4t-t\right)+1\in\left[2,1+\dfrac 32\sqrt 2\right].$$
答案
解析
备注
