定义横、纵坐标都是整数的点为格点．在平面直角坐标系中，有对称中心是原点的矩形，证明面积大于 $4$ 的该类矩形至少包含除原点外的其他两个格点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
（有问题）若 $\begin{cases}{{x}_{P}}-{{x}_{Q}}=2{{k}_{1}} \\{{y}_{P}}-{{y}_{Q}}=2{{k}_{2}}\end{cases}$，其中 ${{k}_{1}},{{k}_{2}}\in \mathbb{Z}$，则称点 $P$ 与点 $Q$ 等价，记作 $P\sim Q$．
设点集$$M=\left\{ \left( x,y \right)|-1\leqslant x<1,-1\leqslant y<1 \right\},$$则 $M$ 的面积为 $4$．
于是对矩形中的任意一点 $P$，均存在 $Q\sim P$，且 $Q\in M$．
因为矩形的面积大于 $4$，所以矩形中至少存在两个不同的点 ${{P}_{1}},{{P}_{2}}$，使得它们均与 $M$ 中的点 ${{Q}_{0}}$ 等价．
$1^\circ$ 若 ${{Q}_{0}}=O$（其中 $O$ 为坐标系原点），则 ${{P}_{1}},{{P}_{2}}$ 均为格点，那么命题成立；
$2^\circ$ 若 ${{Q}_{0}}\ne O$，那么 ${{P}_{1}},{{P}_{2}}\ne O$．因此 ${{P}_{1}},{{P}_{2}}$ 关于原点对称的点 ${{P}_{1}}^{\prime }$ 和 ${{P}_{2}}^{\prime }$ 也在矩形内．此时由于 ${{P}_{1}},{{P}_{2}}$ 为不同两点，于是线段 ${{P}_{1}}{{P}_{2}}^{\prime }$ 的中点 ${{P}_{0}}$ 不为原点 $O$，进而点 ${{P}_{0}}$ 以及点 ${{P}_{0}}$ 关于原点对称的点 ${{P}_{0}}^{\prime }$ 为非原点的两个格点，命题成立．
综上，原命题得证．
设点集$$M=\left\{ \left( x,y \right)|-1\leqslant x<1,-1\leqslant y<1 \right\},$$则 $M$ 的面积为 $4$．
于是对矩形中的任意一点 $P$，均存在 $Q\sim P$，且 $Q\in M$．
因为矩形的面积大于 $4$，所以矩形中至少存在两个不同的点 ${{P}_{1}},{{P}_{2}}$，使得它们均与 $M$ 中的点 ${{Q}_{0}}$ 等价．
$1^\circ$ 若 ${{Q}_{0}}=O$（其中 $O$ 为坐标系原点），则 ${{P}_{1}},{{P}_{2}}$ 均为格点，那么命题成立；
$2^\circ$ 若 ${{Q}_{0}}\ne O$，那么 ${{P}_{1}},{{P}_{2}}\ne O$．因此 ${{P}_{1}},{{P}_{2}}$ 关于原点对称的点 ${{P}_{1}}^{\prime }$ 和 ${{P}_{2}}^{\prime }$ 也在矩形内．此时由于 ${{P}_{1}},{{P}_{2}}$ 为不同两点，于是线段 ${{P}_{1}}{{P}_{2}}^{\prime }$ 的中点 ${{P}_{0}}$ 不为原点 $O$，进而点 ${{P}_{0}}$ 以及点 ${{P}_{0}}$ 关于原点对称的点 ${{P}_{0}}^{\prime }$ 为非原点的两个格点，命题成立．
综上，原命题得证．
答案
解析
备注
