$a_k=1+\left(1+\dfrac 1n\right)^k$

因为$$n\left[f_n\left(\dfrac{k+1}{n}\right)-f_n\left(\dfrac kn\right)\right]=\left[f_n\left(\dfrac kn\right)-1\right]\cdot f_n\left(\dfrac{k+1}{n}\right),$$所以\[\begin{split}&(n+1)f_n\left(\dfrac{k+1}{n}\right)-nf_n\left(\dfrac kn\right)=f_n\left(\dfrac kn\right)\cdot f_n\left(\dfrac{k+1}{n}\right),\\ &\dfrac{n+1}{f_n\left(\dfrac kn\right)}-\dfrac n{f_n\left(\dfrac{k+1}{n}\right)}=1,\end{split}\]故\[\begin{split}&(n+1)a_k-na_{k+1}=1,\\&n(a_{k+1}-1)=(n+1)(a_k-1),\\ &\dfrac{a_{k+1}-1}{a_k-1}=1+\dfrac 1n,\end{split}\]从而数列 $\{a_k-1\}$ 是以 $a_0-1$ 为首项，$1+\dfrac 1n$ 为公比的等比数列，所以$$a_k=1+\left(1+\dfrac 1n\right)^k.$$

略

由 $(1)$ 得$$f_n(1)=\dfrac 1{a_n}=\dfrac 1{1+\left(1+\dfrac 1n\right)^n}.$$欲证$$\dfrac 14<f_n(1)\leqslant \dfrac 13,$$只需证$$3\leqslant 1+\left(1+\dfrac 1n\right)^n<4,$$即$$2\leqslant \left(1+\dfrac 1n\right)^n<3.$$因为\[\begin{split}\left(1+\dfrac 1n\right)^n=1+{\rm C}_n^1\dfrac 1n+{\rm C}_n^2{\dfrac 1{n^2}}+\cdots +{\rm C}_n^n{\dfrac 1{n^n}}\geqslant 2,\end{split}\]且\[\begin{split}\left(1+\dfrac 1n\right)^n&=1+{\rm C}_n^1 \dfrac 1n +{\rm C}_n^2{\dfrac 1{n^2}}+\cdots +{\rm C}_n^n{\dfrac 1{n^n}}\\&=1+1+\dfrac{n(n-1)}{2n^2}+\cdots +\dfrac{n\cdot (n-1)\cdot \cdots \cdot 2\cdot 1}{n!\cdot n^n}\\&\leqslant 1+1+\dfrac 1{2!}+\cdots +\dfrac 1{n!}\\&<1+1+\dfrac 1{2}+\dfrac 1{2^2}+\cdots +\dfrac 1{2^n}\\&=3-\dfrac 1{2^n}<3,\end{split}\]所以 $2\leqslant \left(1+\dfrac 1n\right)^n<3$ 得证，故命题成立．