题目 设 $\alpha,\beta$ 为实数，$n$ 为正整数，且 $0\leqslant \beta\leqslant \alpha\leqslant \dfrac{\pi}{4}$，$n>1$． 问题1 证明：$\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan^{2}\alpha}\leqslant \alpha-\beta$，并判断等号成立的条件； 答案1 略 解析1 左端切割化弦后可整理为$$\sin(\alpha-\beta)\cdot \dfrac{\cos\alpha}{\cos\beta},$$其中$$\sin(\alpha-\beta)\leqslant (\alpha-\beta)\text{ 且 }\dfrac{\cos\alpha}{\cos\beta}\leqslant 1,$$从而得证． 备注1 问题2 证明：$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n^{2}+k^{2}}<\dfrac{\pi}{4n}$． 答案2 略 解析2 取 $\alpha_{k}\in\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right]$，使得$$\tan\alpha_{k}=\dfrac{k}{n},k=0,1,\cdots,n.$$由 $(1)$ 的结果有\[\dfrac{\tan\alpha_{k}-\tan\alpha_{k-1}}{1+\tan^{2}\alpha_{k}}<\alpha_{k}-\alpha_{k-1}.\]即$$\dfrac{\dfrac{1}{n}}{1+\left(\dfrac{k}{n}\right)^{2}}<\alpha_{k}-\alpha_{k-1},$$也即\[\dfrac{n}{n^{2}+k^{2}}<\alpha_{k}-\alpha_{k-1}.\]上式对 $k$ 从 $1$ 到 $n$ 求和，就得到\[\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{n}{n^{2}+k^{2}}<\alpha_{n}-\alpha_{0}=\dfrac{\pi}{4},\]从而原命题获证． 备注2