已知 $f(x)={\rm e}^x-x-1$（$\rm e$ 为自然对数的底数）．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
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求证：$f(x)\geqslant 0$ 恒成立；标注答案略解析因为$$f'(x)={\rm e}^x-1,$$所以当 $x<0$ 时，$f(x)<0$；当 $x>0$ 时，$f'(x)>0$．
因此 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,0]$ 上为减函数，在 $[0,+\infty)$ 上为增函数，所以 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上的最小值为 $f(0)=0$．因此 $f(x)\geqslant 0$ 恒成立． -
求证：$\left(\dfrac 1{2n}\right)^n+\left(\dfrac 3{2n}\right)^n+\left(\dfrac 5{2n}\right)^n+\cdots +\left(\dfrac{2n-1}{2n}\right)^n<\dfrac{\sqrt{\rm e}}{{\rm e}-1}$ 对一切正整数 $n$ 均成立．标注答案略解析由 $(1)$ 知，不等式$$1+x\leqslant {\rm e}^x$$恒成立，所以对任意正整数 $n$ 有$$0<1-\dfrac{i}{2n}\leqslant {\rm e}^{-\frac i{2n}},$$其中 $i=1,2,\cdots ,2n-1$，即对任意正整数 $n$ 有$$0<\left(\dfrac{2n-i}{2n}\right)^n\leqslant {\rm e}^{-\frac i2},$$其中 $i=1,2,\cdots ,2n-1$，所以\[\begin{split}&\left(\dfrac 1{2n}\right)^n+\left(\dfrac 3{2n}\right)^n+\left(\dfrac 5{2n}\right)^n+\cdots +\left(\dfrac{2n-1}{2n}\right)^n\\<&{\rm e}^{-\frac{2n-1}{2}}+{\rm e}^{-\frac{2n-3}{2}}+{\rm e}^{-\dfrac{2n-5}{2}}+\cdots +{\rm e}^{-\frac 12}\\=&\dfrac{{\rm e}^{-\frac 12}(1-{\rm e}^{-n})}{1-{\rm e}^{-1}}\\<&\dfrac{{\rm e}^{-\frac 12}}{1-{\rm e}^{-1}}=\dfrac{\sqrt{\rm e}}{{\rm e}-1}.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
