已知正项数列 $\{a_n\}$ 满足：$(1)$ $a_1=2012$；$(2)$ $a_2,a_3$ 是整数；$(3)$ 数列 $\{na_n-n^2\}$ 是公比不大于 $10$ 的等比数列．求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$a_n=\dfrac{2011\cdot 6^{n-1}}{n}+n,n=1,2,\cdots $
【解析】
由条件 $(3)$ 知$$na_n-n^2=c\cdot q^{n-1},$$其中 $c,q>0$，于是$$a_n=\dfrac{2011q^{n-1}}{n}+n,n=1,2,\cdots $$由条件 $(1)$ 可得 $c=2011$，由此$$a_n=\dfrac{2011q^{n-1}}{n}+n,n=1,2,\cdots$$因为 $a_2=\dfrac{2011q}{2}+2$ 是整数，故 $\dfrac{2011q}{2}$ 是整数，于是 $q$ 只能是分．不妨设 $q=\dfrac km$，其中 $k$ 与 $m$ 互素．注意到 $2011$ 是素数，故 $m$ 的取值只能是 $1$ 和 $2011$，$k$ 只能为偶数．
同理，由 $a_3=\dfrac{2011\left(\dfrac km\right)^2}{3}+3$ 是整数，得知 $\dfrac{2011\cdot \dfrac {k^2}{m^2}}{3}$ 是整数，于是 $m$ 的取值只能是 $1$ 且 $k$ 是 $3$ 的倍数，从而 $q=k$ 是 $6$ 的倍数，$q$ 不大于 $10$，所以 $q=6$，故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为$$a_n=\dfrac{2011\cdot 6^{n-1}}{n}+n,n=1,2,\cdots .$$
同理，由 $a_3=\dfrac{2011\left(\dfrac km\right)^2}{3}+3$ 是整数，得知 $\dfrac{2011\cdot \dfrac {k^2}{m^2}}{3}$ 是整数，于是 $m$ 的取值只能是 $1$ 且 $k$ 是 $3$ 的倍数，从而 $q=k$ 是 $6$ 的倍数，$q$ 不大于 $10$，所以 $q=6$，故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为$$a_n=\dfrac{2011\cdot 6^{n-1}}{n}+n,n=1,2,\cdots .$$
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