在 $\triangle ABC$ 中，$AB=\sqrt 2$，$AC=1$，$\angle C=2\angle A$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
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求 $BC$ 的长；标注答案$1$解析因为 $\angle C=2\angle A$，所以 $\sin C=2\sin A\cos A$，由正弦定理、余弦定理得$$c=2a \cdot \dfrac {b^2+c^2-a^2}{2bc},$$将 $b=1$，$c=\sqrt 2$ 代入得 $a^3-3a+2=0$，解得 $a=1$．
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设 $P$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，$PA=AC$，$PB=PC$，求 $\angle PAB$ 的大小．标注答案$15^{\circ}$解析由 $(1)$ 可知 $\angle C=90^{\circ}$，设 $\angle PAC=\alpha$，则 $\angle PCA=90^{\circ}-\dfrac {\alpha}{2}$，$\angle PCB=\dfrac {\alpha}{2}$，取 $BC$ 的中点 $D$，连 $PD$，则 $PD \perp BC$，所以 $PC=\dfrac {1}{2\cos \dfrac {\alpha}{2}}$，又 $AP=AC=1$，所以$$\dfrac {\dfrac {1}{2\cos \dfrac {\alpha}{2}}}{\sin \alpha}=\dfrac {1}{\sin \left( 90^{\circ}-\dfrac {\alpha}{2}\right)},$$化简得$$2\cos \dfrac {\alpha}{2} \sin \alpha =\cos \dfrac {\alpha}{2},$$所以 $ \sin \alpha =\dfrac 12$，$\alpha=30^{\circ}$，$\angle PAB=15^{\circ}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
