过点 $P(1,2)$ 作倾斜角互补的相异直线 $PA$、$PB$ 分别与抛物线 $y^2=4x$ 交于 $A$、$B$ 两点．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
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求线段 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹；标注答案$y=-2(x>1)$，是一条射线（去掉端点）解析设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$、$M(x,y)$，$PA$ 的方程：$x=m(y-2)+1$，代入 $y^2=4x$ 得$$y^2-4my+8m-4=0.$$所以 $y_1+2=4m$，故 $y_1=4m-2$．
因为 $PA$、$PB$ 的倾斜角互补，所以同理可得 $y_2=-4m-2$，所以 $y=\dfrac {y_1+y_2}{2}=-2$，又$$k_{AB}=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac {y_2-y_1}{\dfrac {y_2^2}{4}-\dfrac {y_1^2}{4}}=\dfrac {4}{y_1+y_2}=-1.$$设 $AB$ 的方程：$y=-x+b$，代入 $y^2=4x$ 得 $y^2+4y-4b=0$，$\Delta=16+16b>0$，所以 $b>-1$，所以 $x=b+2>1$，$M$ 的轨迹方程为 $y=-2(x>1)$，是一条射线（去掉端点）． -
若 $P$ 在 $AB$ 的上方，求 $\triangle PAB$ 面积的最大值．标注答案$\dfrac {32\sqrt{3}}{9}$解析由 $(1)$ 可知$$ |AB|=\sqrt 2|y_1-y_2|=\sqrt {32(b+1)} ,$$$P$ 到 $AB$ 的距离 $d=\dfrac {|3-b|}{\sqrt 2}$，所以$$S_{\triangle PAB}=\dfrac 12|AB|d=2\sqrt {b^3-5b^2+3b+9},$$因为 $P$ 在 $AB$ 的上方，所以 $1+2-b>0$，故 $-1<b<3$，设 $y=b^3-5b^2+3b+9$，$y'=3b^2-10b+3$，所以 $y$ 在 $\left(-1,\dfrac 13\right)$ 上递增，在 $\left(\dfrac 13,3\right)$ 上递减．
当 $b=\dfrac 13$ 时，$y$ 有最大值 $\dfrac {256}{27}$，所以 $S_{\triangle PAB}$ 的最大值是 $\dfrac {32\sqrt{3}}{9}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
