设实数 $t>0$，求证：$\left(1+\dfrac 2t\right)\ln(1+t)>2$；
【难度】
【出处】
2011年湖南省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
构造函数$$f(x)=\ln (1+x)-\dfrac{2x}{x+2},$$则$$f'(x)=\dfrac{x^2}{(x+1)(x+2)^2},$$当 $x>0$ 时，$f'(x)>0$，所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为增函数，故 $f(t)>f(0)$，即$$\ln(1+t)-\dfrac{2t}{t+2}>0,$$变形即得$$\left(1+\dfrac 2t\right)\ln(1+t)>2.$$
答案
解析
备注
