由数字 $1,2,3,4,5,6,7$ 组成七位数，使四个奇数中任何三个都不相邻，问符合条件的七位数共有多少个．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛新疆维吾尔族自治区预赛
【标注】
【答案】
$2736$
【解析】
从所有可能的七位数 ${\rm A}_7^7$ 中减去下面两类七位数的个数．
$(1)$ 四个奇数都相邻的七位数．
先将四个奇数看成一组与其余三个偶数排好，有 ${\rm A}_4^4$ 种方法；再将这四个奇数进行排列，有 ${\rm A}_4^4$ 种方法．
因此此类七位数共有 ${\rm A}_4^4\cdot {\rm A}_4^4$ 个．
$(2)$ 只有三个奇数相邻．
先将偶数排好有 ${\rm A}_3^3$ 种方法；再将四个奇数分成三个，一个的两组，有 ${\rm C}_4^1$ 种方法；然后将这两组奇数插入偶数的四个空挡中，有 ${\rm A}_4^2$ 种方法．
因此此类七位数共有 ${\rm A}_3^3\cdot {\rm C}_4^1\cdot {\rm A}_4^2\cdot {\rm A}_3^3$ 个．
综上，符合条件的七位数共有$${\rm A}_7^7-{\rm A}_4^4\cdot {\rm A}_4^4-{\rm A}_3^3\cdot {\rm C}_4^1\cdot {\rm A}_4^2\cdot {\rm A}_3^3=5040-(576+1728)=2736.$$
$(1)$ 四个奇数都相邻的七位数．
先将四个奇数看成一组与其余三个偶数排好，有 ${\rm A}_4^4$ 种方法；再将这四个奇数进行排列，有 ${\rm A}_4^4$ 种方法．
因此此类七位数共有 ${\rm A}_4^4\cdot {\rm A}_4^4$ 个．
$(2)$ 只有三个奇数相邻．
先将偶数排好有 ${\rm A}_3^3$ 种方法；再将四个奇数分成三个，一个的两组，有 ${\rm C}_4^1$ 种方法；然后将这两组奇数插入偶数的四个空挡中，有 ${\rm A}_4^2$ 种方法．
因此此类七位数共有 ${\rm A}_3^3\cdot {\rm C}_4^1\cdot {\rm A}_4^2\cdot {\rm A}_3^3$ 个．
综上，符合条件的七位数共有$${\rm A}_7^7-{\rm A}_4^4\cdot {\rm A}_4^4-{\rm A}_3^3\cdot {\rm C}_4^1\cdot {\rm A}_4^2\cdot {\rm A}_3^3=5040-(576+1728)=2736.$$
答案
解析
备注
