$[2,+\infty)$

因为\[\begin{split}f'(x)&=\dfrac {a}{x+1}-\dfrac {1}{(x+1)^2}+3\\&=\dfrac {3(x+1)^2+a(x+1)-1}{(x+1)^2}\\&=\dfrac {3x^2+(a+6)x+a+2}{(x+1)^2},
\end{split}\]情形一 $a\geqslant -2$．
此时$$a+6>0,$$所以当 $x>0$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上为增函数．
故当 $x\geqslant 0$ 时，有$$f(x)\geqslant f(0)=0,$$因此 $a \geqslant -2$ 符合要求．
情形二 $a<-2$．
此时方程$$3x^2+(a+6)x+a+2=0$$有两个异号的实数根，设这两个实数根为 $x_1$，$x_2$，且 $x_1<0<x_2$．
当 $0<x<x_2$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 在区间 $[0,x_2]$ 上为减函数，所以$$f(x_2)<f(0)=0.$$故 $a<-2$ 不符合要求．
综上知，$a$ 的取值范围为 $[2,+\infty)$．

略

由 $(1)$ 知，$x>0$ 时，不等式$$-2\ln(x+1)+\dfrac {1}{x+1}+3x-1>0$$恒成立，即$$ \dfrac {1}{x+1}+3x-1>2\ln(x+1) $$恒成立．
令 $x=\dfrac {2}{2k-1}(k \in \mathbb N^*)$，得$$\dfrac {1}{\dfrac {2}{2k-1}+1}+3\times \dfrac {2}{2k-1}-1<2\ln \left(\dfrac {2}{2k-1}+1\right),$$整理得$$\dfrac {k+1}{4k^2-1}>\dfrac 14\ln \dfrac {2k+1}{2k-1}.$$令 $k=1,2,3,\cdots,n$，得\[\begin{split}\dfrac {2}{4\times 1^2-1}&>\dfrac 14\ln \dfrac {3}{1},\\ \dfrac {3}{4\times 2^2-1}&>\dfrac 14\ln \dfrac {5}{3},\\ \dfrac {4}{4\times 3^2-1}&>\dfrac 14\ln \dfrac {7}{5},\\ &\cdots \\\dfrac {n+1}{4\times n^2-1}&>\dfrac 14\ln \dfrac {2n+1}{2n-1},\\ \end{split}\]将上述 $n$ 个不等式的左右两边分别相加，得\[\begin{split}&\dfrac {2}{4\times 1^2-1}+\dfrac {3}{4\times 2^2-1}+\cdots+\dfrac {n+1}{4\times n^2-1}\\>&\dfrac 14\ln \left(\dfrac 31\times \dfrac 53\times \cdots \times \dfrac {2n+1}{2n-1}\right)\\=&\dfrac 14\ln (2n+1).\end{split}\]所以\[\begin{split}\dfrac {2}{4\times 1^2-1}+\dfrac {3}{4\times 2^2-1}+\cdots+\dfrac {n+1}{4\times n^2-1} >\dfrac 14\ln (2n+1).\end{split}\]对一切正整数 $n$ 均成立．