题目 已知函数 $f(x)=\dfrac{x^{3}+3x}{3x^{2}+1}$，数列 $\{x_{n}\}$ 满足：$x_{1}=2$，$x_{n+1}=f(x_{n})(n\in\mathbb N^{*})$，记 $b_{n}=\log_{3}\left(\dfrac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}+1}\right)(n\in\mathbb N^{*})$． 问题1 求证：数列 $\{b_{n}\}$ 成等比数列，并求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式； 答案1 证明略，$b_n=-3^n$ 解析1 由题意得\[\begin{split}\dfrac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}+1}&=\dfrac{f(x_{n})-1}{f(x_{n})+1}\\&=\dfrac{\dfrac{x_{n}^{3}+3x_{n}}{3x_{n}^{2}+1}-1}{\dfrac{x_{n}^{3}+3x_{n}}{3x_{n}^{2}+1}+1}\\&=\dfrac{x_{n}^{3}-3x_{n}^{2}+3x_{n}-1}{x_{n}^{3}+3x_{n}^{2}+3x_{n}+1}\\&=\left(\dfrac{x_{n}-1}{x_{n}+1}\right)^{3},\end{split}\]于是$$\log_{3}\left(\dfrac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}+1}\right)=3\log_{3}\left(\dfrac{x_{n}-1}{x_{n}+1}\right),$$即 $b_{n}=3b_{n-1}$，所以数列 $\{b_{n}\}$ 成等比数列．<br/>又由条件知 $x_{2}=\dfrac{14}{13}$，故\[b_{1}=\log_{3}\left(\dfrac{\dfrac{14}{13}-1}{\dfrac{14}{13}+1}\right)=\log_{3}\dfrac{1}{27}=-3,\]于是 $b_n=-3^n$．<br/>因此数列 $\{b_n\}$ 的通项公式为 $b_n=-3^n$． 备注1 问题2 记 $c_{n}=-nb_{n}(n\in\mathbb N^{*})$，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和公式 $T_{n}$． 答案2 $T_{n}=\dfrac{(2n-1)\cdot 3^{n+1}+3}{4}$ 解析2 由第 $(1)$ 小题知，$b_{n}=3^{n}$，故 $c_{n}=n\cdot 3^{n}$．<br/>求和得\[\begin{split}T_{n}&=1\times 3^{1}+2\times 3^{2}+3\times 2^{3}+\cdots+n\times 3^{n},\\ 3T_{n}&=1\times 3^{2}+2\times 3^{3}+4\times 3^{4}+\cdots +n\times 3^{n+1},\end{split}\]于是\[\begin{split}-2T_{n}&=3+3^{2}+3^{3}+\cdots +3^{n}-n\times 3^{n+1}\\ &=\dfrac{3^{n+1}-3}{2}-n\times 3^{n+1},\end{split}\]即$$T_{n}=\dfrac{(2n-1)\cdot 3^{n+1}+3}{4}.$$因此数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和公式\[T_{n}=\dfrac{(2n-1)\cdot 3^{n+1}+3}{4}.\] 备注2