直线 $MN$ 必过定点 $E\left(\dfrac 35,0\right)$

由题意知，$F(1,0)$．
情形一 当弦 $AB$，$CD$ 的斜率均存在时，设 $AB$ 的斜率为 $k$，则 $CD$ 的斜率为 $-\dfrac 1k$．
设 $AB: y=k(x-1)$，代入椭圆方程 $\dfrac {x^2}{3}+\dfrac {y^2}{2}=1$，得$$(3k^2+2)x^2-6k^2x+(3k^2-6)=0,$$所以$$x_M=\dfrac {x_A+x_B}{2}=\dfrac {3k^2}{3k^2+2}, y_M=k(x_M-1)=\dfrac {-2k}{3k^2+2}.$$故点 $M\left(\dfrac {3k^2}{3k^2+2},\dfrac {-2k}{3k^2+2}\right)$．
因为 $CD \perp AB$，所以将点 $M$ 的坐标中的 $k$ 换为 $-\dfrac 1k$，即得点 $N\left(\dfrac {3 }{2k^2+3},\dfrac {2k}{2k^2+3}\right)$．
（i）当 $k \neq \pm 1$ 时，$$k_{MN}=\dfrac {-5k}{3k^2-3},$$此时直线 $MN$ 的方程为$$y-\dfrac {2k}{2k^2+3}=\dfrac {-5k}{3k^2-3}\left(x-\dfrac {3}{2k^2+3}\right),$$则直线 $MN$ 过定点 $\left(\dfrac 35,0\right)$．
（ii）当 $k=\pm 1$ 时，易得直线 $MN$ 的方程为 $x=\dfrac 35$，也过点 $\left(\dfrac 35,0\right)$．
情形二 当弦 $AB$ 或 $CD$ 的斜率不存在时，易知直线 $MN$ 为 $x$ 轴，也过点 $\left(\dfrac 35,0\right)$．
综上可知，直线 $MN$ 必过定点 $E\left(\dfrac 35,0\right)$．

$\dfrac {4}{25}$

由 $(1)$ 知\[\begin{split} S_{\triangle FMN}&=\dfrac 12 \cdot |EF| \cdot |y_M-y_N|\\ &=\dfrac 15 \left|\dfrac {-2k}{3k^2+2}-\dfrac {2k}{2k^2+3}\right|\\&=\dfrac {|2k(k^2+1)|}{(3k^2+2)(2k^2+3)}, \end{split}\]不妨设 $k>0$，则$$S'=\dfrac {(-12k^4+2k^2-12)(k^2-1)}{(3k^2+2)^2(2k^2+3)^2}.$$由 $S'=0$ 知 $k=1$．
又 $k \in (0,1)$ 时，$S'>0$；$k \in (1,+\infty)$ 时，$S'<0$；
故当 $k=1$ 时，$S$ 有最大值为 $\dfrac {4}{25}$．
因此，$\triangle FMN$ 的面积的最大值是 $\dfrac {4}{25}$．